Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.
1Formulės ir metodai
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
2Uždaviniai
1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis
Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n − 1) + O(n) sprendinys?
AO(n)
BO(n log n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus
Kokios yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo ciklu, saugančiu tik dvi paskutines reikšmes, laiko ir atminties sąnaudos?
AO(n) laiko ir O(n) atminties
BO(n) laiko ir O(1) atminties
CO(log n) laiko ir O(n) atminties
DO(2ⁿ) laiko ir O(1) atminties
3.Duomenų struktūrosVidutinis
Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?
A4 5 2 3 1
B4 2 5 1 3
C5 4 3 2 1
D1 2 4 5 3
4.Duomenų struktūrosSunkus
Kiekvienam masyvo elementui norite rasti artimiausią didesnį elementą į dešinę, iš viso per O(n). Kuri struktūra padeda?
AEilė, laikanti kiekvieną elementų porą
BStekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
CVisų elementų maišos lentelė
DKiekvienam elementui iš naujo sudaromas dvejetainis paieškos medis
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
3 × deg 34 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 4 etape; pats A yra 1 etapas.
pradžia: Aetapas 4
1A
2B
3C
4D
5E
6F
3Tirpalai
1.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: D · O(n²)
Kodėl tai yra atsakymas
Darbas susumuoja iki maždaug n² / 2; tai rikiavimo išrinkimu arba greitojo rikiavimo su blogiausiu atraminiu elementu rekurentinė lygtis.
Atsakymas
D · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: B · O(n) laiko ir O(1) atminties
Kodėl tai yra atsakymas
Kiekvienam žingsniui reikia tik dviejų ankstesnių reikšmių, todėl „iš apačios į viršų“ metodo lentelę galima pakeisti dviem kintamaisiais.
Atsakymas
B · O(n) laiko ir O(1) atminties
3.Duomenų struktūros
Atsakymas: A · 4 5 2 3 1
Kodėl tai yra atsakymas
Postorder apdoroja 4 ir 5 prieš 2, tada 3 ir galiausiai šaknį 1.
Atsakymas
A · 4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūros
Atsakymas: B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
Kodėl tai yra atsakymas
Einant iš kairės į dešinę, iš steko išimami visi už einamąjį mažesni elementai (einamasis elementas yra jų atsakymas), tada jis įdedamas; kiekvienas elementas juda daugiausia dukart.
Atsakymas
B · Stekas, kuriame laikomi atsakymo laukiantys elementai
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 25
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 53 = 2(L + 15) − 2
L = 25
Atsakymas
L = 25
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: C
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.