Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra Bellmano–Fordo algoritmo laiko sudėtingumas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?

  1. AO(n log n) vienam padidinimui
  2. BO(log n) vienam padidinimui
  3. CO(1) vienam padidinimui
  4. DO(n) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?

  1. AMasyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
  2. BMasyvai reikšmėms palyginti naudoja mažiau instrukcijų
  3. CSusietieji sąrašai visada saugo elementus diske
  4. DMasyvo apėjimas iš viso yra O(1), o susietojo sąrašo – O(n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APerkelia pasiektą mazgą į lapą
  2. BPerspalvina paieškos kelio mazgus
  3. CPosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  4. DPerstato visą medį į subalansuotą formą
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K5? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K5
H =
6.Grafų teorijaSunkus
21016117451ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės A. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4.

pradžia: Ak = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna EF
  8. 8briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(V × E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš V − 1 etapų relaksuoja visas E briaunas, todėl gaunama O(VE); mainais algoritmas tvarkosi su neigiamais briaunų svoriais.

Atsakymas

D · O(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(1) vienam padidinimui

Kodėl tai yra atsakymas

Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.

Atsakymas

C · O(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)

Kodėl tai yra atsakymas

Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.

Atsakymas

A · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Atsakymas

H = 12
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna EF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. AB (2)
2. BE (1)
3. DE (4)
4. EF (5)
5. CE (7)

briaunos numeris 4

EF

Atsakymas

briauna EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms