Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Turint 1, 3 ir 4 vertės monetas ir 6 sumą, kiek monetų panaudoja godusis metodas „pirmiausia didžiausia moneta“, palyginti su optimaliu sprendiniu?

  1. AGodusis panaudoja 4 monetas; optimalus sprendinys – 3
  2. BGodusis panaudoja 2 monetas; optimalus sprendinys – 2
  3. CGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
  4. DGodusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 3
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Taikant pagrindinę teoremą (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) sprendinys yra:

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek mazgų turi tobulas dvejetainis medis, kurio aukštis h (aukštis skaičiuojamas briaunomis)?

  1. A2h + 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h+1 − 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Įterpus raktą į AVL medį, mazgo kairysis pomedis tampa per aukštas, o naujas raktas pateko į jo kairiojo vaiko kairįjį pomedį (kairė–kairė atvejis). Koks taisymas taikomas?

  1. AKairysis posūkis vaike, tada dešinysis posūkis mazge
  2. BVienas kairysis posūkis nesubalansuotame mazge
  3. CMazgo ir jo vaiko perspalvinimas
  4. DVienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K5? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K5
H =
6.Grafų teorijaSunkus
7104819201239ABCDEF

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 5; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 5
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna DF
  8. 8briauna EF
  9. 9briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis metodas paima 4 + 1 + 1 = 3 monetas, bet 3 + 3 panaudoja tik 2, todėl šiai monetų sistemai godusis metodas nėra optimalus; dinaminis programavimas – optimalus.

Atsakymas

C · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Θ(n³)

Kodėl tai yra atsakymas

log₂ 8 = 3, o n² auga lėčiau nei n³, todėl dominuoja lapai: Θ(n³).

Atsakymas

A · Θ(n³)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 2h+1 − 1

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus 1 + 2 + 4 + ... + 2h gaunama 2h+1 − 1; pavyzdžiui, kai aukštis 2, yra 7 mazgai.

Atsakymas

D · 2h+1 − 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Kairė–kairė atveju vienas dešinysis posūkis pakelia kairįjį vaiką aukštyn ir atkuria balansą; zigzago atvejams reikia dvigubo posūkio.

Atsakymas

D · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Atsakymas

H = 12
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. EF (3)
2. BC (4)
3. AB (7)
4. BD (8)
5. BE (9)

briaunos numeris 5

BE

Atsakymas

briauna BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms