Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką reiškia, kad uždavinys turi optimalią struktūrą (optimal substructure)?

  1. AUždavinį galima išspręsti per pastovų laiką
  2. BVisi daliniai uždaviniai yra vienodo dydžio
  3. COptimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
  4. DUždavinys turi lygiai vieną optimalų sprendinį, kurį bendrai turi visi dalinių uždavinių sprendiniai
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?

  1. AO(1) vienam padidinimui
  2. BO(n log n) vienam padidinimui
  3. CO(log n) vienam padidinimui
  4. DO(n) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia rakto paieškos subalansuotame dvejetainiame paieškos medyje laiko sudėtingumas?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl maišos lentelėje su atviruoju adresavimu šalinimas dažnai atliekamas naudojant „antkapio“ (tombstone) žymę?

  1. ADėl to lentelė tampa surikiuota
  2. BPašalinti raktai saugumo sumetimais turi būti laikomi amžinai, todėl vietų niekada negalima naudoti pakartotinai
  3. CIštuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
  4. DAntkapiai pagreitina maišymą
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
13210172011816ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių

Kodėl tai yra atsakymas

Optimali struktūra būtina, kad ir godieji algoritmai, ir dinaminis programavimas duotų teisingus atsakymus.

Atsakymas

C · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(1) vienam padidinimui

Kodėl tai yra atsakymas

Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.

Atsakymas

A · O(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuoto medžio aukštis yra apie log₂ n, todėl paieška eina vienu keliu nuo šaknies iki lapo.

Atsakymas

D · O(log n)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka

Kodėl tai yra atsakymas

Jei pašalinta vieta taptų tuščia, vėlesnės paieškos galėtų sustoti per anksti ir praleisti raktus, patalpintus toliau zondavimo grandinėje.

Atsakymas

C · Ištuštinus vietą, galėtų nutrūkti kitų raktų zondavimo seka
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

A, C, D, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 47

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

AC (2): imti
EF (8): imti
BC (10): imti
DF (11): imti
AB (13): praleisti, uždaro ciklą
BE (16): imti

Bendras svoris

W = 2 + 8 + 10 + 11 + 16 = 47

Atsakymas

W = 47

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms