Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra standartinio dinaminio programavimo algoritmo, ieškančio m ir n ilgio eilučių ilgiausio bendro posekio, laiko sudėtingumas?

  1. AO(m + n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(mn)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Paėmus abu kiekvienos maksimalaus poravimo (maximal matching) briaunos galus, gaunamas viršūnių denginys. Koks geras šis denginys?

  1. ADaugiausia log n kartų didesnis už minimalų
  2. BVisada minimalus viršūnių denginys
  3. CNežinomos kokybės, palyginti su optimaliu
  4. DDaugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. Ai + 1 ir i + 2
  2. B2i ir 2i + 1
  3. Ci/2 ir i/2 + 1
  4. D2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokia blogiausio atvejo vienos find operacijos kaina union-find struktūroje su n elementų, nenaudojant jungimo pagal rangą ir kelio suspaudimo?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(n)
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 21 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 21
k =
6.Grafų teorijaSunkus
154182011616179ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės C. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 5.

pradžia: Ck = 5
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna DF
  8. 8briauna EF
  9. 9briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(mn)

Kodėl tai yra atsakymas

Lentelėje yra (m + 1)(n + 1) langelių, ir kiekvienas apskaičiuojamas per O(1) iš kaimynų.

Atsakymas

D · O(mn)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį

Kodėl tai yra atsakymas

Poravimo briaunos neturi bendrų viršūnių, todėl optimaliam sprendiniui reikia bent vienos viršūnės kiekvienai briaunai, o šis metodas paima dvi: tai 2-aproksimacija.

Atsakymas

D · Daugiausia dvigubai didesnis už minimalų viršūnių denginį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

D · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Naivūs sujungimai gali sudėti medžius į ilgą grandinę, todėl find gali tekti pereiti n − 1 tėvo rodyklių; abi euristikos tai priartina prie konstantos.

Atsakymas

D · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 9

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 21 − 12 = 9

Atsakymas

k = 9
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna DF

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. AC (4)
2. CE (11)
3. DE (6)
4. BE (9)
5. DF (16)

briaunos numeris 5

DF

Atsakymas

briauna DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms