Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Greitasis rikiavimas visada kaip atraminį elementą naudoja pirmąjį elementą. Su kokia įvestimi jis elgiasi blogiausiai?

  1. ASu 2 ilgio masyvu
  2. BSu masyvu, kurio visi elementai skirtingi
  3. CSu jau surikiuotu masyvu
  4. DSu atsitiktinės tvarkos masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris rėžis teisingas log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(log n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. Ai/2 ir i/2 + 1
  2. B2i ir 2i + 1
  3. Ci + 1 ir i + 2
  4. D2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuo radix medis (suspaustas Trie) pranašesnis už paprastą Trie?

  1. AJis kiekvieno mazgo vaikus surikiuoja pagal dažnį
  2. BJis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną
  3. CJis išlaiko tik pirmąją kiekvieno žodžio raidę
  4. DJis kiekvieną žodį saugo šaknyje esančioje maišos lentelėje, o ne atskiruose mazguose
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
31011214159ABCDE

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės B. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4.

pradžia: Bk = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Su jau surikiuotu masyvu

Kodėl tai yra atsakymas

Surikiuotoje įvestyje atraminis elementas visada yra minimumas, todėl viena pusė tuščia, o kitoje n − 1 elementų, ir gaunama O(n²).

Atsakymas

C · Su jau surikiuotu masyvu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Θ(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

log(n!) ≤ n log n, o didžiausi n / 2 daugiklių duoda log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); todėl rikiavimui palyginimais reikia Ω(n log n).

Atsakymas

A · Θ(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

D · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Jis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Sutraukus nesišakojančius kelius, sumažėja mazgų skaičius ir naudojama atmintis, o paieška pagal prefiksą išlieka.

Atsakymas

B · Jis vieno vaiko mazgų grandines sujungia į vieną eilute pažymėtą briauną
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Nelyginės viršūnės

A, C → 2
Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BD

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. BC (1)
2. AB (3)
3. BE (9)
4. BD (12)

briaunos numeris 4

BD

Atsakymas

briauna BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms