Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra greitojo rikiavimo (quicksort) laiko sudėtingumas blogiausiu atveju?

AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) atlikti O(1) darbą?

AO(n)
BO(n log n)
CO(n √n)
DO(n²)

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuri duomenų struktūra naudojama tikrinti, ar skliaustai eilutėje „{[()]}“ subalansuoti?

ADvejetainis paieškos medis
BMaišos lentelė
CEilė
DStekas

4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

ANes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
BKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
CNes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
DKad masyvas liktų surikiuotas

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 13 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 13

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kai atraminiai elementai nuolat parenkami blogai (pvz., jau surikiuoti duomenys ir pirmasis elementas kaip atraminis), skaidiniai būna nesubalansuoti, todėl gaunama O(n²). Vidutiniu atveju laikas yra O(n log n).

Atsakymas

A · O(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Iš viso gaunama n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × H_n, o harmoninis skaičius H_n yra Θ(log n).

Atsakymas

B · O(n log n)

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Stekas

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvieną atidarantį skliaustą atlikite push, o pasirodžius uždarančiam – pop; jis turi atitikti išimtą skliaustą, o pabaigoje stekas turi būti tuščias.

Atsakymas

D · Stekas

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

B · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 8

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 13 − 5 = 8

Atsakymas

k = 8

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 28

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 12

B (12): C: 22, D: 27, G: 21

G (21): E: 24

C (22)

E (24): F: 28

D (27)

F (28)

Trumpiausias kelias

A → B → G → E → F

d(F) = 28

Atsakymas

d(F) = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms