Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kaip Primo algoritmas sudaro minimalų jungiamąjį medį?

  1. AJis šalina brangiausią briauną, kol nebelieka ciklų
  2. BJis vykdo paiešką platyn ir pasilieka BFS medį
  3. CJis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
  4. DJis surikiuoja visas briaunas pagal svorį ir prideda kiekvieną, jei ji miške nesudaro ciklo
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriam kuprinės uždavinio variantui godžioji taisyklė „imti daiktus pagal vertės ir svorio santykį“ visada duoda optimalų atsakymą?

  1. ATrupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
  2. BAbiem variantams
  3. C0/1 kuprinei, kai daiktai visada imami ištisi
  4. DNė vienam variantui
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks preorder apėjimas?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri duomenų struktūra leidžia LRU (least recently used) podėlį su O(1) get ir put operacijomis?

  1. AVienas surikiuotas masyvas
  2. BMaišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
  3. CTik dvejetainis paieškos medis
  4. DTik stekas
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
44913113666ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną

Kodėl tai yra atsakymas

Primo algoritmas su kertančių briaunų prioritetine eile, naudojant dvejetainę krūvą, veikia per O(E log V).

Atsakymas

C · Jis augina vieną medį nuo pradinės viršūnės, kaskart pridėdamas pigiausią iš medžio išeinančią briauną
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti

Kodėl tai yra atsakymas

Kai daiktus galima dalyti, geriausio santykio pirmenybė optimali; 0/1 kuprinėje didelio santykio daiktas gali užblokuoti geresnį derinį, todėl reikia dinaminio programavimo.

Atsakymas

A · Trupmeninei kuprinei, kai daiktus galima dalyti
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 1 2 4 5 3

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder aplanko 1, tada jo kairįjį pomedį (2, 4, 5), tada 3; kiti variantai yra inorder, postorder ir apėjimas lygmenimis.

Atsakymas

C · 1 2 4 5 3
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu

Kodėl tai yra atsakymas

Maišos žemėlapis randa mazgus per O(1), o dvikryptis susietasis sąrašas perkelia naudotus elementus į priekį ir pašalina iš galo per O(1).

Atsakymas

B · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 19

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 37 = 2(L + 10) − 2
L = 19

Atsakymas

L = 19

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 16

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 4, C: 4
B (4): D: 13, G: 10
C (4): E: 17
G (10): E: 16
D (13): F: 16
E (16)
F (16)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 16

Atsakymas

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms