Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra greitojo rikiavimo (quicksort) laiko sudėtingumas blogiausiu atveju?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Karacubos daugyba tenkina T(n) = 3T(n/2) + O(n). Kam lygus sprendinys?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3), apie n1,585
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia postfiksinio reiškinio 3 4 + 2 * reikšmė?

  1. A14
  2. B24
  3. C11
  4. D10
4.Duomenų struktūrosSunkus

Objektas saugomas kaip raktas maišos atvaizdyje, o paskui pakeičiamas laukas, kurį naudoja jo maišos funkcija. Koks tikėtinas rezultatas?

  1. AObjekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
  2. BAtvaizdis automatiškai perkelia raktą į naują kibirą
  3. CNiekas nepasikeičia, nes rakto maišos reikšmė skaičiuojama tik vieną kartą programai pasileidus
  4. DAtvaizdis išmeta klaidą tą akimirką, kai laukas pasikeičia
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš D į B? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n²)

Kodėl tai yra atsakymas

Kai atraminiai elementai nuolat parenkami blogai (pvz., jau surikiuoti duomenys ir pirmasis elementas kaip atraminis), skaidiniai būna nesubalansuoti, todėl gaunama O(n²). Vidutiniu atveju laikas yra O(n log n).

Atsakymas

B · O(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, pagal pagrindinę teoremą dominuoja lapai, todėl metodas aplenkia mokyklinį O(n²) metodą.

Atsakymas

D · Θ(nlog₂ 3), apie n1,585
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 14

Kodėl tai yra atsakymas

Įdedami 3 ir 4, + duoda 7; įdedamas 2, * duoda 7 × 2 = 14.

Atsakymas

A · 14
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire

Kodėl tai yra atsakymas

Rakto vieta buvo parinkta pagal senąją maišos reikšmę; su nauja maišos reikšme paieška ieško netinkamame kibire, todėl raktai turėtų būti nekeičiami.

Atsakymas

A · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 24

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 48 = 2(L + 13) − 2
L = 24

Atsakymas

L = 24

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)DB = 0·1 + 1·0 + 0·1 + 0·1 + 1·1 + 1·0 = 1

Atsakymas

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms