Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(n) sprendinys yra:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip dideliems n palyginami n! ir 2ⁿ?

  1. A2ⁿ auga greičiau už n!
  2. Bn! auga greičiau už 2ⁿ
  3. Cn! yra O(n²)
  4. DJie auga vienodu greičiu
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip naujas elementas įterpiamas į dvejetainę krūvą?

  1. AVisa krūva perstatoma iš naujo
  2. BPadedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
  3. CPadedamas šaknyje ir leidžiamas žemyn
  4. DĮterpiamas į surikiuotą poziciją, pastumiant visus didesnius elementus viena vieta į dešinę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Esant paprastam tolygiam maišymui, koks tikėtinas paieškos laikas maišos lentelėje su grandinėmis, n raktų ir m kibirų?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α), kur α = n / m
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
121118171021915205166ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 12
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem), kai a = 2, b = 2, f(n) = n, gauname T(n) = Θ(n log n).

Atsakymas

D · O(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · n! auga greičiau už 2ⁿ

Kodėl tai yra atsakymas

Kai n ≥ 4, n! viršija 2ⁿ, o santykis auga neaprėžtai, nes kiekvienas papildomas n! daugiklis didesnis už 2.

Atsakymas

B · n! auga greičiau už 2ⁿ
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę

Kodėl tai yra atsakymas

Pridėjimas gale išlaiko medį pilną; keitimasis vietomis su tėvu atkuria tvarką per O(log n) žingsnių.

Atsakymas

B · Padedamas masyvo gale ir keliamas aukštyn (sift up), kol pažeidžia krūvos savybę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(1 + α), kur α = n / m

Kodėl tai yra atsakymas

Maišos reikšmės apskaičiavimas kainuoja O(1), o tikėtinas grandinės ilgis yra α, todėl, keičiant dydį ir taip ribojant α, gaunamas O(1) tikėtinas laikas.

Atsakymas

D · O(1 + α), kur α = n / m
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Nelyginės viršūnės

A, B, E, G → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 51

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

DE (2): imti
GC (5): imti
GE (6): imti
CE (10): praleisti, uždaro ciklą
AC (11): imti
AB (12): imti
EF (15): imti

Bendras svoris

W = 2 + 5 + 6 + 11 + 12 + 15 = 51

Atsakymas

W = 51

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms