Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Funkcija vykdo vieną n iteracijų ciklą, o paskui, atskirai, dar vieną n iteracijų ciklą. Koks jos laiko sudėtingumas?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką nustatė Cooko–Levino teorema?

  1. AKiekvieną NP uždavinį galima išspręsti per eksponentinį laiką
  2. BLoginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
  3. CP nelygu NP
  4. DStabdymo problema yra neišsprendžiama
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. A2i ir 2i + 1
  2. Bi + 1 ir i + 2
  3. Ci/2 ir i/2 + 1
  4. D2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Operacijos decrease-key dvejetainėje krūvoje (žinant elemento poziciją) laiko sudėtingumas yra:

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
81019185121ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

n + n = 2n, o pastovūs daugikliai atmetami, todėl funkcija yra O(n).

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas

Kodėl tai yra atsakymas

Cookas ir Levinas nepriklausomai parodė, kad kiekvienas NP uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į SAT, todėl SAT tapo pirmuoju žinomu NP-pilnu uždaviniu.

Atsakymas

B · Loginio įvykdomumo uždavinys (SAT) yra NP-pilnas
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

D · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Sumažinus raktą, elementas kyla aukštyn ne daugiau nei krūvos aukštis. Fibonačio krūvos pasiekia O(1) amortizuotą decrease-key.

Atsakymas

B · O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BE (1): imti
CE (5): imti
AB (8): imti
AC (10): praleisti, uždaro ciklą
DE (12): imti

Bendras svoris

W = 1 + 5 + 8 + 12 = 26

Atsakymas

W = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms