Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 1,000
  2. BApie 500,000
  3. CApie 20
  4. DApie 100
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Uždavinys yra NP-pilnas, jei jis:

  1. ANepriklauso NP, bet yra sunkesnis už visus NP uždavinius, pvz., sustojimo problema
  2. BNeišsprendžiamas
  3. CPriklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
  4. DIšsprendžiamas per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Žiedinis buferis (ring buffer) dažniausiai naudojamas įgyvendinti:

  1. AMaišos funkciją
  2. BGrafo apėjimą
  3. CDvejetainį paieškos medį
  4. DFiksuoto dydžio eilę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kiek laiko užtrunka bet kurio rakto paieška n elementų dvejetainėje min krūvoje?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš A į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

C · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

NP-pilni uždaviniai yra sunkiausi NP klasėje; polinominis algoritmas vienam iš jų duotų polinominį algoritmą visai NP klasei.

Atsakymas

C · Priklauso NP ir kiekvienas NP uždavinys į jį redukuojamas per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Fiksuoto dydžio eilę

Kodėl tai yra atsakymas

Žiedinis buferis naudoja persisukančius head ir tail indeksus, todėl enqueue ir dequeue atliekami per O(1) fiksuotoje atmintyje.

Atsakymas

D · Fiksuoto dydžio eilę
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Krūva nenustato taisyklės, kuriame pomedyje yra raktas, todėl blogiausiu atveju reikia patikrinti visus mazgus; greitai randamas tik minimumas.

Atsakymas

A · O(n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 4

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)AC = 2·1 + 0·0 + 0·0 + 1·0 + 2·1 = 4

Atsakymas

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms