Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Godusis algoritmas:

  1. AIšbando kiekvieną galimą sprendinį
  2. BVisada pateikia optimalų sprendinį
  3. CKiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
  4. DNaudoja tik rekursiją
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip dideliems n palyginami n! ir 2ⁿ?

  1. AJie auga vienodu greičiu
  2. B2ⁿ auga greičiau už n!
  3. Cn! auga greičiau už 2ⁿ
  4. Dn! yra O(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. Ai/2 ir i/2 + 1
  2. Bi + 1 ir i + 2
  3. C2i + 1 ir 2i + 2
  4. D2i ir 2i + 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Objektas saugomas kaip raktas maišos atvaizdyje, o paskui pakeičiamas laukas, kurį naudoja jo maišos funkcija. Koks tikėtinas rezultatas?

  1. ANiekas nepasikeičia, nes rakto maišos reikšmė skaičiuojama tik vieną kartą programai pasileidus
  2. BAtvaizdis išmeta klaidą tą akimirką, kai laukas pasikeičia
  3. CObjekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
  4. DAtvaizdis automatiškai perkelia raktą į naują kibirą
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K7? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K7
H =
6.Grafų teorijaSunkus
1681810191312ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą

Kodėl tai yra atsakymas

Godieji algoritmai yra greiti ir kai kuriems uždaviniams optimalūs (pvz., Dijkstros algoritmas, Hafmano kodavimas), bet ne bendruoju atveju (pvz., grąžos atidavimo uždavinys su kai kuriomis monetų sistemomis).

Atsakymas

C · Kiekviename žingsnyje priima lokaliai geriausią sprendimą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · n! auga greičiau už 2ⁿ

Kodėl tai yra atsakymas

Kai n ≥ 4, n! viršija 2ⁿ, o santykis auga neaprėžtai, nes kiekvienas papildomas n! daugiklis didesnis už 2.

Atsakymas

C · n! auga greičiau už 2ⁿ
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

C · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire

Kodėl tai yra atsakymas

Rakto vieta buvo parinkta pagal senąją maišos reikšmę; su nauja maišos reikšme paieška ieško netinkamame kibire, todėl raktai turėtų būti nekeičiami.

Atsakymas

C · Objekto paieška gali nepavykti, nes jis yra senosios maišos reikšmės kibire
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 41

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

CE (1): imti
AC (8): imti
DE (9): imti
BD (10): imti
BE (12): praleisti, uždaro ciklą
DF (13): imti

Bendras svoris

W = 1 + 8 + 9 + 10 + 13 = 41

Atsakymas

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms