Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(n) sprendinys yra:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Topologinis rikiavimas galimas tik:

  1. AKryptiniams acikliniams grafams
  2. BGrafams su neigiamais svoriais
  3. CNekryptiniams grafams
  4. DPilniesiems grafams
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas teisinga apie nekryptinio grafo gretimumo matricą?

  1. AJi simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
  2. BKiekvienoje eilutėje yra lygiai vienas 1
  3. CJos pagrindinėje įstrižainėje visada yra vienetai
  4. DJi visada viršutinė trikampė
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri apėjimų pora visada vienareikšmiškai nusako dvejetainį medį su skirtingais raktais?

  1. AVien preorder
  2. BPreorder ir postorder
  3. CPreorder ir inorder
  4. DVien apėjimas lygmenimis
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
1953201116ABCDE

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem), kai a = 2, b = 2, f(n) = n, gauname T(n) = Θ(n log n).

Atsakymas

C · O(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Kryptiniams acikliniams grafams

Kodėl tai yra atsakymas

Topologinė tvarka egzistuoja tada ir tik tada, kai kryptinis grafas neturi ciklų; ją galima rasti per O(V + E) naudojant DFS arba Kano algoritmą.

Atsakymas

A · Kryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Ji simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu

Kodėl tai yra atsakymas

Nekryptiniame grafe briauna {u, v} reiškia, kad nustatyti ir M[u][v], ir M[v][u], todėl matrica lygi savo transponuotajai.

Atsakymas

A · Ji simetriška pagrindinės įstrižainės atžvilgiu
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Preorder ir inorder

Kodėl tai yra atsakymas

Preorder nurodo šaknį, o jos padėtis inorder sekoje atskiria kairįjį ir dešinįjį pomedžius; preorder su postorder yra dviprasmiški, kai mazgas turi vieną vaiką.

Atsakymas

C · Preorder ir inorder
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 20

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

CE (1): imti
BC (3): imti
AC (5): imti
BE (6): praleisti, uždaro ciklą
DE (11): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 5 + 11 = 20

Atsakymas

W = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms