Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl daug bibliotekinių rikiavimo procedūrų labai mažiems daliniams masyvams pereina prie rikiavimo įterpimu?

ARikiavimas įterpimu blogiausiu atveju yra O(n log n)
BRekursiniai algoritmai negali apdoroti mažesnių nei 10 elementų masyvų
CRikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis
DRikiavimas įterpimu didelėms įvestims naudoja mažiau atminties nei bet kuris kitas rikiavimo algoritmas

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Trumpiausius paprastuosius kelius galima rasti per polinominį laiką. Kas žinoma apie ilgiausio paprastojo kelio tarp dviejų viršūnių paiešką bendrajame grafe?

ATai NP-sunkus uždavinys
BJis visada išsprendžiamas per O(V + E)
CJis neišsprendžiamas
DJį galima išspręsti Dijkstros algoritmu su priešingo ženklo svoriais

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka L ilgio žodžio paieška Trie medyje su fiksuota abėcėle?

AO(L × n)
BO(log n), kur n yra žodžių skaičius
CO(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
DO(n), kur n yra žodžių skaičius

4.Duomenų struktūrosSunkus

Bloomo filtras į klausimą „ar šis elementas yra aibėje?“ gali atsakyti:

ATik skaičiams
BSu galimais klaidingai neigiamais, bet be klaidingai teigiamų atsakymų
CSu galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų
DVisada tiksliai

5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₅? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₅

H =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

Kodėl tai yra atsakymas

Mažiems n paprastas rikiavimo įterpimu ciklas aplenkia greitojo rikiavimo ar rikiavimo suliejimu rekursijos pridėtines sąnaudas, nors jis ir O(n²).

Atsakymas

C · Rikiavimas įterpimu turi mažas pridėtines sąnaudas ir yra greitas su mažomis ar beveik surikiuotomis įvestimis

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Tai NP-sunkus uždavinys

Kodėl tai yra atsakymas

V − 1 ilgio ilgiausias paprastasis kelias yra Hamiltono kelias, o tai NP-pilnas uždavinys; tačiau kryptiniuose beciklius grafuose jis išsprendžiamas per tiesinį laiką.

Atsakymas

A · Tai NP-sunkus uždavinys

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas simbolis parenka vieną vaiką, todėl paieška užtrunka L žingsnių, kad ir kiek žodžių būtų Trie medyje.

Atsakymas

C · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

Kodėl tai yra atsakymas

Jei bet kuris elemento bitas lygus 0, elemento tikrai nėra; jei visi lygūs 1, jis tikriausiai yra. Bloomo filtrai iškeičia tikslumą į labai mažą atminties sąnaudą.

Atsakymas

C · Su galimais klaidingai teigiamais, bet be klaidingai neigiamų atsakymų

5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Atsakymas

H = 12

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 3, C: 14

B (3): C: 5, D: 10

C (5): E: 20, G: 8

G (8): E: 16

D (10): F: 15

F (15)

E (16)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F

d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms