Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokios yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo ciklu, saugančiu tik dvi paskutines reikšmes, laiko ir atminties sąnaudos?

  1. AO(2ⁿ) laiko ir O(1) atminties
  2. BO(n) laiko ir O(1) atminties
  3. CO(log n) laiko ir O(n) atminties
  4. DO(n) laiko ir O(n) atminties
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia sargybinio (fiktyvaus, sentinel) mazgo paskirtis susietajame sąraše?

  1. APadaryti sąrašą surikiuotą
  2. BNeleisti sąrašui augti virš nustatyto didžiausio mazgų skaičiaus
  3. CSaugoti elementų skaičių
  4. DSupaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūrosSunkus

Operacijos decrease-key dvejetainėje krūvoje (žinant elemento poziciją) laiko sudėtingumas yra:

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 3 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
13891486914ABCDEF

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 5 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) nlog₂ 2 = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.

Atsakymas

A · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n) laiko ir O(1) atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienam žingsniui reikia tik dviejų ankstesnių reikšmių, todėl „iš apačios į viršų“ metodo lentelę galima pakeisti dviem kintamaisiais.

Atsakymas

B · O(n) laiko ir O(1) atminties
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje

Kodėl tai yra atsakymas

Su sargybiniu kiekvienas tikras mazgas turi pirmtaką, todėl įterpimui ar šalinimui pradžioje nereikia specialaus apdorojimo.

Atsakymas

D · Supaprastinti kodą pašalinant specialiuosius atvejus pradžioje ar pabaigoje
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Sumažinus raktą, elementas kyla aukštyn ne daugiau nei krūvos aukštis. Fibonačio krūvos pasiekia O(1) amortizuotą decrease-key.

Atsakymas

B · O(log n)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 22

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Atsakymas

L = 22

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: D

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 13, C: 8
2. C (8): E: 22
3. B (13)
4. E (22): D: 30, F: 31
5. D (30)
6. F (31)

etapas 5

D

Atsakymas

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms