Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką matuoja amortizuotoji analizė?

  1. AAlgoritmo kainą su geriausia įvestimi
  2. BVienos brangiausios operacijos bet kurioje sekos vietoje kainą
  3. CTikėtiną kainą su atsitiktinėmis įvestimis
  4. DVidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Sustojimo problema parodo, kad:

  1. AKai kurios programos greitesniuose kompiuteriuose veikia greičiau, todėl sustojimas priklauso nuo aparatinės įrangos
  2. BCiklų reikėtų vengti
  3. CJoks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
  4. DKiekviena programa anksčiau ar vėliau sustoja
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E)
  3. CO(V²)
  4. DO(log V)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kad maišos lentelė veiktų teisingai, kokios taisyklės turi laikytis maišos funkcija ir lygybė?

  1. ASkirtingi raktai turi turėti skirtingas maišos reikšmes
  2. BVienodos maišos reikšmės reiškia lygius raktus
  3. CMaišos reikšmės turi būti pirminiai skaičiai
  4. DLygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 3
L =
6.Grafų teorijaSunkus
1451125155ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki D svertiniame grafe ilgį d(D).

pradžia: Apabaiga: D
d(D) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje

Kodėl tai yra atsakymas

Amortizuotoji analizė retų brangių operacijų kainą paskirsto daugybei pigių ir duoda garantuotą vidurkį bet kuriai sekai.

Atsakymas

D · Vidutinę vienos operacijos kainą blogiausio atvejo operacijų sekoje
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiuringas parodė, kad sustojimo problema yra neišsprendžiama: prielaida, kad egzistuoja ją sprendžiantis algoritmas, veda į prieštarą su programa, kuri elgiasi priešingai.

Atsakymas

C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

C · O(V²)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Lygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes

Kodėl tai yra atsakymas

Jei dviejų lygių raktų maišos reikšmės skirtųsi, jie būtų saugomi skirtinguose kibiruose ir paieška nepavyktų; nelygūs raktai vis tiek gali turėti tą pačią maišos reikšmę.

Atsakymas

D · Lygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 4

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Atsakymas

L = 4

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(D) = 21

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): C: 14
C (14): B: 19, E: 16
E (16): D: 21, F: 21
B (19)
D (21)
F (21)

Trumpiausias kelias

A → C → E → D
d(D) = 21

Atsakymas

d(D) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms