Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Trumpiausius paprastuosius kelius galima rasti per polinominį laiką. Kas žinoma apie ilgiausio paprastojo kelio tarp dviejų viršūnių paiešką bendrajame grafe?

  1. AJį galima išspręsti Dijkstros algoritmu su priešingo ženklo svoriais
  2. BTai NP-sunkus uždavinys
  3. CJis neišsprendžiamas
  4. DJis visada išsprendžiamas per O(V + E)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kuris kolizijų sprendimo metodas saugo susidūrusius raktus sąraše tame pačiame kibire?

  1. AKvadratinis zondavimas
  2. BAtskiros grandinės (separate chaining)
  3. CDvigubas maišymas
  4. DTiesinis zondavimas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. AJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
  2. BJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
  3. CSu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  4. DJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 19 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 19
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(d(n + k))

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.

Atsakymas

A · O(d(n + k))
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Tai NP-sunkus uždavinys

Kodėl tai yra atsakymas

V − 1 ilgio ilgiausias paprastasis kelias yra Hamiltono kelias, o tai NP-pilnas uždavinys; tačiau kryptiniuose beciklius grafuose jis išsprendžiamas per tiesinį laiką.

Atsakymas

B · Tai NP-sunkus uždavinys
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Atskiros grandinės (separate chaining)

Kodėl tai yra atsakymas

Grandinių metodas kiekvienam kibirui laiko susietąjį sąrašą (ar kitą struktūrą); atvirasis adresavimas ieško kitos laisvos vietos pačioje lentelėje.

Atsakymas

B · Atskiros grandinės (separate chaining)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

B · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 19 − 12 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Bendri kaimynai

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms