Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Dinaminis programavimas naudingas, kai uždavinys turi:

  1. APersidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą
  2. BVisai jokių poproblemių, todėl jį galima išspręsti vienu žingsniu
  3. CVieną ciklą
  4. DTik atsitiktinius įvesties duomenis
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) atlikti O(1) darbą?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n √n)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą naudoja paieška į gylį (DFS, iteracinė versija)?

  1. AKrūvą
  2. BTik maišos lentelę
  3. CEilę
  4. DSteką
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią savybę turi tenkinti raudonai juodas medis?

  1. AKiekvienas raudonas mazgas turi turėti raudonus vaikus, todėl raudoni mazgai visada sudaro nenutrūkstamas grandines iki lapų
  2. BŠaknis turi būti raudona
  3. CKiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
  4. DKiekvienas mazgas turi būti raudonas
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
713142149813ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą

Kodėl tai yra atsakymas

Persidengiančių poproblemių rezultatų įsiminimas (memoizacija arba lentelių sudarymas) leidžia išvengti pakartotinio darbo ir paverčia eksponentinius algoritmus polinominiais.

Atsakymas

A · Persidengiančius poproblemius ir optimalią postruktūrą
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Iš viso gaunama n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, o harmoninis skaičius Hn yra Θ(log n).

Atsakymas

A · O(n log n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Steką

Kodėl tai yra atsakymas

DFS eina kuo giliau, natūraliai naudodama steką (arba rekursijos iškvietimų steką); BFS naudoja eilę.

Atsakymas

D · Steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius

Kodėl tai yra atsakymas

Raudonai juodo medžio taisyklės: mazgai raudoni arba juodi, šaknis juoda, raudonų mazgų vaikai juodi, o visų kelių juodasis aukštis vienodas, todėl aukštis ≤ 2 log₂(n + 1).

Atsakymas

C · Kiekviename kelyje nuo mazgo iki jo palikuonių lapų yra vienodas juodų mazgų skaičius
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

B, C, D, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 7, C: 13
B (7): D: 9, E: 20
D (9): E: 18
C (13)
E (18): F: 26
F (26)

Trumpiausias kelias

A → B → D → E → F
d(F) = 26

Atsakymas

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms