Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = T(n/2) + O(1) sprendinys?

AO(n)
BO(n log n)
CO(log n)
DO(1)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Strasseno algoritmas matricas daugina naudodamas 7, o ne 8 rekursines pusės dydžio blokų daugybas. Koks jo vykdymo laikas?

AΘ(n² log n)
BΘ(n³)
CΘ(n²)
DΘ(n^{log₂ 7}), apie n^2,81

3.Duomenų struktūrosVidutinis

7 dydžio maišos lentelė naudoja h(k) = k mod 7 ir tiesinį zondavimą. Kur saugomas 17, įterpus 10?

AIndeksu 3
BIndeksu 4
CIndeksu 6
DIndeksu 0

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurią tiesinio zondavimo problemą dvigubas maišymas (double hashing) daugiausia sumažina?

APirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos
BMaišos funkcijos poreikį
CPoreikį saugoti raktus lentelėje
DRakto reikšmės skaitymo O(n) kainą

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 13 viršūnių ir 15 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 13|E| = 15

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 9

W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename žingsnyje uždavinys sumažėja perpus, o darbas viename žingsnyje pastovus, todėl žingsnių yra apie log₂ n.

Atsakymas

C · O(log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(n^{log₂ 7}), apie n^2,81

Kodėl tai yra atsakymas

Kai a = 7 ir b = 2, n^{log₂ 7} dominuoja O(n²) sudėties darbą, todėl gaunama apie n^2,81.

Atsakymas

D · Θ(n^{log₂ 7}), apie n^2,81

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Indeksu 4

Kodėl tai yra atsakymas

10 mod 7 = 3 ir 17 mod 7 = 3; indeksas 3 užimtas, todėl tiesinis zondavimas bando kitą vietą – indeksą 4.

Atsakymas

B · Indeksu 4

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiesinis zondavimas žengia po 1, todėl užimtos sekos auga ir susilieja; dvigubas maišymas žingsnio dydžiui naudoja antrą maišos funkciją, todėl skirtingi raktai zonduoja skirtingas sekas.

Atsakymas

A · Pirminį grupavimąsi (primary clustering), kai susidaro ilgos užimtų vietų sekos

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

13 − 1 = 12

Pašalintinos briaunos

k = 15 − 12 = 3

Atsakymas

k = 3

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 24

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

DE (1): imti

BC (2): imti

AC (3): imti

CE (4): imti

BE (8): praleisti, uždaro ciklą

BD (10): praleisti, uždaro ciklą

AB (11): praleisti, uždaro ciklą

EF (14): imti

Bendras svoris

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 14 = 24

Atsakymas

W = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms