Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką reiškia, kad uždavinys turi optimalią struktūrą (optimal substructure)?

  1. AVisi daliniai uždaviniai yra vienodo dydžio
  2. BUždavinys turi lygiai vieną optimalų sprendinį, kurį bendrai turi visi dalinių uždavinių sprendiniai
  3. COptimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
  4. DUždavinį galima išspręsti per pastovų laiką
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Sustojimo problema parodo, kad:

  1. AKai kurios programos greitesniuose kompiuteriuose veikia greičiau, todėl sustojimas priklauso nuo aparatinės įrangos
  2. BJoks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
  3. CCiklų reikėtų vengti
  4. DKiekviena programa anksčiau ar vėliau sustoja
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia rakto paieškos subalansuotame dvejetainiame paieškos medyje laiko sudėtingumas?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl duomenų bazės indeksams dažnai naudoja B+ medžius, o ne paprastus B medžius?

  1. AB+ medžiai duomenis saugo tik šaknyje
  2. BVisi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
  3. CB+ medžiai naudoja dvejetainius vidinius mazgus, todėl sumažėja skaitymų iš disko
  4. DB+ medžių nereikia balansuoti
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš B į F? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių

Kodėl tai yra atsakymas

Optimali struktūra būtina, kad ir godieji algoritmai, ir dinaminis programavimas duotų teisingus atsakymus.

Atsakymas

C · Optimalų sprendinį galima sudaryti iš optimalių jo dalinių uždavinių sprendinių
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiuringas parodė, kad sustojimo problema yra neišsprendžiama: prielaida, kad egzistuoja ją sprendžiantis algoritmas, veda į prieštarą su programa, kuri elgiasi priešingai.

Atsakymas

B · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuoto medžio aukštis yra apie log₂ n, todėl paieška eina vienu keliu nuo šaknies iki lapo.

Atsakymas

C · O(log n)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi

Kodėl tai yra atsakymas

B+ medyje vidiniai mazgai tik nukreipia paiešką, o lapai susieti raktų tvarka, todėl intervalo užklausa randa pirmąjį raktą ir tada eina lapais.

Atsakymas

B · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 26

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 52 = 2(L + 14) − 2
L = 26

Atsakymas

L = 26

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 2

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)BF = 0·0 + 2·0 + 1·0 + 1·1 + 1·1 + 2·0 = 2

Atsakymas

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms