Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 100
  2. BApie 20
  3. CApie 1,000
  4. DApie 500,000
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

  1. AAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo
  2. BNeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
  3. CNeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
  4. DPraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Koks didžiausias galimas užpildymo koeficientas maišos lentelėje su atviruoju adresavimu?

  1. A0,5
  2. B1
  3. C2
  4. DDidžiausio nėra
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kahno topologinio rikiavimo algoritmas pakartotinai šalina viršūnes, kurių įeinantis laipsnis lygus 0. Kuri struktūra laiko šias viršūnes?

  1. AVisų aplankytų briaunų stekas
  2. BViršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
  3. CPagal išeinantį laipsnį sutvarkyta max krūva
  4. DGretimumo matrica, žyminti, kurios viršūnės jau pašalintos
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K4? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K4
H =
6.Grafų teorijaSunkus
166191713151134ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

B · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

C · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · 1

Kodėl tai yra atsakymas

Taikant atvirąjį adresavimą visi raktai saugomi pačioje lentelėje, todėl n negali viršyti m; atskirų grandinių metodu užpildymo koeficientas gali būti didesnis už 1.

Atsakymas

B · 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)

Kodėl tai yra atsakymas

Paruoštos viršūnės laikomos eilėje; pašalinus vieną, sumažėja jos kaimynų įeinantys laipsniai, o pasiekusios 0 pridedamos, todėl laikas yra O(V + E).

Atsakymas

B · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Atsakymas

H = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 57

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

GC (3): imti
GE (4): imti
BC (6): imti
GB (11): praleisti, uždaro ciklą
DF (13): imti
EF (15): imti
AC (16): imti

Bendras svoris

W = 3 + 4 + 6 + 13 + 15 + 16 = 57

Atsakymas

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms