Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Vieną kartą surikiuojate n elementų masyvą, o tada dvejetaine paieška atsakote į k priklausomybės užklausų. Kokia bendra kaina?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris P klasės apibrėžimas teisingas?

  1. ASprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką
  2. BUždaviniai, kuriems bet kuriame kompiuteryje reikia eksponentinio laiko
  3. CUždaviniai, kuriuos galima spręsti lygiagrečiai
  4. DUždaviniai, kurių sprendinius galima patikrinti, bet niekada nerasti per polinominį laiką
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia kaina įterpti elementą į n elementų masyvo vidurį?

  1. AO(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
  2. BO(1), nes indeksas žinomas
  3. CO(log n), dėl dvejetainės paieškos
  4. DO(n²), nes kiekvienas elementas pajuda n kartų
4.Duomenų struktūrosSunkus

DPM, kurio šaknis 50, kairysis pomedis 30 (vaikai 20, 40) ir dešinysis pomedis 70 (vaikai 60, 80), šaknis pašalinama naudojant in-order įpėdinį. Kuris raktas tampa nauja šaknimi?

  1. A80
  2. B70
  3. C60
  4. D40
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
121279121322ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n log n + k log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas kainuoja O(n log n), o kiekviena užklausa – O(log n); kai k didelis, tai geriau nei k tiesinių peržiūrų (O(nk)).

Atsakymas

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką

Kodėl tai yra atsakymas

P apima sprendimo uždavinius, turinčius deterministinį polinominio laiko algoritmą, pvz., patikrinimą, ar grafas jungus.

Atsakymas

A · Sprendimo uždaviniai, kuriuos deterministinis algoritmas išsprendžia per polinominį laiką
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai po įterpimo vietos pasislenka viena pozicija į dešinę, o tai užtrunka n proporcingą laiką.

Atsakymas

A · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · 60

Kodėl tai yra atsakymas

Kairiausias dešiniojo pomedžio mazgas yra 60, todėl 60 pakeičia 50, o jo senoji vieta pašalinama; naudojant pirmtaką būtų gauta 40.

Atsakymas

C · 60
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 8

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Atsakymas

L = 8

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 13

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 1
B (1): C: 3, G: 13
C (3): E: 4
E (4): D: 6, F: 13, G: 6
D (6)
G (6)
F (13)

Trumpiausias kelias

A → B → C → E → F
d(F) = 13

Atsakymas

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms