Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra Bellmano–Fordo algoritmo laiko sudėtingumas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(V³ × E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl vidutiniškai paieška maišos lentelėje yra O(1), o blogiausiu atveju – O(n)?

  1. ARaktai pirmiausia turi būti surikiuoti
  2. BDaug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį
  3. CPrieiga prie masyvų yra O(n)
  4. DMaišos funkcijos yra lėtos
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. A2i + 1 ir 2i + 2
  2. Bi/2 ir i/2 + 1
  3. Ci + 1 ir i + 2
  4. D2i ir 2i + 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl B medžiai naudojami duomenų bazėse ir failų sistemose?

  1. AJų nereikia perbalansuoti
  2. BJie saugo nesurikiuotus duomenis
  3. CJie naudoja mažiau atminties nei bet koks masyvas, todėl visas indeksas visada telpa operatyviojoje atmintyje
  4. DDidelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 9 viršūnių ir 18 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 9|E| = 18
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties B? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(V × E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš V − 1 etapų relaksuoja visas E briaunas, todėl gaunama O(VE); mainais algoritmas tvarkosi su neigiamais briaunų svoriais.

Atsakymas

C · O(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį

Kodėl tai yra atsakymas

Esant geros maišos funkcijai ir tinkamam užpildymo koeficientui, krepšeliai vidutiniškai lieka trumpi; piktavališkai parinkti duomenys arba prasta maišos funkcija gali sudėti visus raktus į vieną krepšelį.

Atsakymas

B · Daug raktų gali susidurti ir patekti į tą patį krepšelį
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

A · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių

Kodėl tai yra atsakymas

B medžiai viename mazge saugo daug raktų, todėl aukštis mažas ir vienai paieškai reikia nedaug bloko skaitymų; B+ medžiai dar sujungia lapus intervalų skenavimui.

Atsakymas

D · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

9 − 1 = 8

Pašalintinos briaunos

k = 18 − 8 = 10

Atsakymas

k = 10
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 4

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Bendri kaimynai

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Atsakymas

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms