Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie P ir NP yra teisingas?

  1. AĮrodyta, kad P ≠ NP
  2. BKiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
  3. CNP uždavinių sprendinių negalima greitai patikrinti
  4. DNP reiškia „nepolinominis“ (not polynomial)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainėje min krūvoje, saugomoje masyve (indeksai nuo 0), mazgo su indeksu i vaikai yra pozicijose:

  1. A2i + 1 ir 2i + 2
  2. B2i ir 2i + 1
  3. Ci/2 ir i/2 + 1
  4. Di + 1 ir i + 2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri savybė kiekvieną B medį išlaiko tobulai subalansuotą?

  1. AKiekvienas mazgas turi lygiai du vaikus
  2. BVisi lapai yra tame pačiame gylyje
  3. CKiekvienas mazgas saugo vieną raktą
  4. DRaktai saugomi tik šaknyje
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 10 viršūnių ir 16 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 10|E| = 16
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP

Kodėl tai yra atsakymas

P ⊆ NP: jei uždavinį galite greitai išspręsti, galite ir greitai patikrinti sprendinį. Ar P = NP, vis dar yra atviras klausimas.

Atsakymas

B · Kiekvienas P klasės uždavinys taip pat priklauso NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 2i + 1 ir 2i + 2

Kodėl tai yra atsakymas

Masyvuose, indeksuojamuose nuo 0, kairysis vaikas yra 2i + 1, dešinysis 2i + 2, o tėvas ⌊(i − 1)/2⌋.

Atsakymas

A · 2i + 1 ir 2i + 2
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje

Kodėl tai yra atsakymas

Užsipildę mazgai skyla aukštyn, o medis paaukštėja tik skylant šakniai, todėl visi lapai visada lieka tame pačiame lygmenyje.

Atsakymas

B · Visi lapai yra tame pačiame gylyje
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 7

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

10 − 1 = 9

Pašalintinos briaunos

k = 16 − 9 = 7

Atsakymas

k = 7
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 0
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Bendri kaimynai

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms