Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra amortizuotas laiko sudėtingumas pridedant elementą į dinaminio masyvo, kuris prisipildęs padvigubina savo talpą, galą?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. APer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  2. BParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
  3. CPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
  4. DParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

  1. AVisi krūvos raktai lygūs
  2. BMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia
  3. CTai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
  4. DKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Įterpus raktą į AVL medį, mazgo kairysis pomedis tampa per aukštas, o naujas raktas pateko į jo kairiojo vaiko kairįjį pomedį (kairė–kairė atvejis). Koks taisymas taikomas?

  1. AMazgo ir jo vaiko perspalvinimas
  2. BVienas kairysis posūkis nesubalansuotame mazge
  3. CKairysis posūkis vaike, tada dešinysis posūkis mazge
  4. DVienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 9 viršūnių ir 9 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 9|E| = 9
k =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties A? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai kopijuojami tik pasiekus dvejeto laipsnius; paskirsčius šią kainą visiems pridėjimams, vidutinė vieno pridėjimo kaina yra pastovi.

Atsakymas

B · O(1)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

A · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės

Kodėl tai yra atsakymas

Pilnumas reiškia, kad nėra tarpų, todėl indekso i vaikai visada yra 2i + 1 ir 2i + 2.

Atsakymas

C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Kairė–kairė atveju vienas dešinysis posūkis pakelia kairįjį vaiką aukštyn ir atkuria balansą; zigzago atvejams reikia dvigubo posūkio.

Atsakymas

D · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 1

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

9 − 1 = 8

Pašalintinos briaunos

k = 9 − 8 = 1

Atsakymas

k = 1
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 2

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Atsakymas

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms