Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Vieną kartą surikiuojate n elementų masyvą, o tada dvejetaine paieška atsakote į k priklausomybės užklausų. Kokia bendra kaina?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(nk)
  4. DO(k n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

0/1 kuprinės uždavinys, sprendžiamas dinaminiu programavimu, užtrunka O(nW) laiko. Kodėl tai vadinama pseudopolinominiu laiku?

  1. ANes jis veikia tik kai W = 0
  2. BNes n visada mažas
  3. CNes algoritmas yra atsitiktinis ir jo vykdymo laikas kinta su kiekviena įvestimi
  4. DW yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Programai reikia greitos paieškos, taip pat reikia išvardyti raktus surikiuota tvarka ir atsakyti į intervalų užklausas. Kuri struktūra tinka geriausiai?

  1. ASubalansuotas dvejetainis paieškos medis
  2. BStekas
  3. CMaišos lentelė
  4. DNesurikiuotas susietasis sąrašas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kaip naudojant O(1) papildomos atminties nustatyti, ar vienkrypčiame susietajame sąraše yra ciklas?

  1. ASurikiuoti sąrašą ir ieškoti pasikartojimų
  2. BVieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
  3. CKiekvieną aplankytą mazgą saugoti maišos aibėje
  4. DSkaičiuoti mazgus, kol skaičius viršys sąrašo ilgio lauką
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K4? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K4
H =
6.Grafų teorijaSunkus
1016123159147ABCDEF

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės A. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3.

pradžia: Ak = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna DF
  8. 8briauna EF

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(n log n + k log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas kainuoja O(n log n), o kiekviena užklausa – O(log n); kai k didelis, tai geriau nei k tiesinių peržiūrų (O(nk)).

Atsakymas

A · O(n log n + k log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · W yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu

Kodėl tai yra atsakymas

Vykdymo laikas yra polinominis W reikšmės atžvilgiu, bet eksponentinis jos ilgio (log W bitų) atžvilgiu; 0/1 kuprinės uždavinys yra NP-pilnas.

Atsakymas

D · W yra skaitinė reikšmė, todėl laikas yra eksponentinis bitų, reikalingų W užrašyti, skaičiaus atžvilgiu
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuotas DPM užtikrina O(log n) paiešką ir laiko raktus sutvarkytus, todėl in-order apėjimas ir intervalų užklausos paprastos; maišos lentelė raktus išbarsto.

Atsakymas

A · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo algoritme, jei yra ciklas, greitoji rodyklė galiausiai pasiveja lėtąją; kitu atveju greitoji rodyklė pasiekia null.

Atsakymas

B · Vieną rodyklę stumti vienu žingsniu, kitą – dviem ir tikrinti, ar jos susitinka
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 3

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Atsakymas

H = 3
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna DE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. AB (10)
2. BD (3)
3. DE (9)
4. EF (7)
5. BC (12)

briaunos numeris 3

DE

Atsakymas

briauna DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms