Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kiek lygmenų turi rikiavimo suliejimu rekursija n elementų masyvui?

  1. AApie log₂ n
  2. BApie n / 2
  3. CApie √n
  4. DApie n
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip klasifikuojamas keliaujančio pirklio uždavinys?

  1. ASprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
  2. BSprendimo versija priklauso P, bet optimizavimo versija yra NP-pilna
  3. CJis priklauso P, nes jį išsprendžia Dijkstros algoritmas aplankydamas kiekvieną miestą vieną kartą
  4. DJis neišsprendžiamas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

  1. AO(log V)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E)
  4. DO(V²)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. AJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
  2. BSu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  3. CJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
  4. DJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš A į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Apie log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Dalijant pusiau nuo n iki 1, reikia apie log₂ n lygmenų, o kiekviename lygmenyje atliekama O(n) suliejimo darbo, todėl gaunama O(n log n).

Atsakymas

A · Apie log₂ n
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki

Kodėl tai yra atsakymas

„Ar yra maršrutas, kurio ilgis ne didesnis kaip k?“ yra NP-pilnas; trumpiausio maršruto radimas yra NP-sunkus, nes jis bent tiek pat sunkus.

Atsakymas

A · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

D · O(V²)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

A · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Nelyginės viršūnės

A, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 5

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)AC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 2·1 = 5

Atsakymas

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms