Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

AO(n)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n²)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?

AJis patikrina, ar kuri nors briauna turi neigiamą svorį
BPo V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
CJis suskaičiuoja ciklus paieška gilyn
DJis du kartus paleidžia Dijkstros algoritmą ir palygina abu atstumų rezultatus

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Eilė įgyvendinta dviem stekais: push atliekamas į steką „in“, o pop – iš steko „out“, kuris, ištuštėjęs, papildomas iš „in“. Kokia amortizuota vienos operacijos kaina?

AO(log n)
BO(n²)
CO(1)
DO(n)

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri duomenų struktūra leidžia LRU (least recently used) podėlį su O(1) get ir put operacijomis?

ATik dvejetainis paieškos medis
BTik stekas
CMaišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu
DVienas surikiuotas masyvas

5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 15 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 15

k =

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Vidinis ciklas kiekvienai iš n išorinių iteracijų vykdomas apie log₂ n kartų, todėl gaunama O(n log n).

Atsakymas

C · O(n log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.

Atsakymas

B · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas elementas iš viso daugiausia dukart įdedamas ir išimamas, todėl nors vienas papildymas gali užtrukti O(n), vidurkis per seką yra O(1).

Atsakymas

C · O(1)

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu

Kodėl tai yra atsakymas

Maišos žemėlapis randa mazgus per O(1), o dvikryptis susietasis sąrašas perkelia naudotus elementus į priekį ir pašalina iš galo per O(1).

Atsakymas

C · Maišos žemėlapis kartu su dvikrypčiu susietuoju sąrašu

5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 15 − 5 = 10

Atsakymas

k = 10

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 13

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 4, C: 5

B (4): D: 9, G: 11

C (5)

D (9): F: 13

G (11): E: 23

F (13)

E (23)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F

d(F) = 13

Atsakymas

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms