Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Paieška platyn nesvoriniame grafe randa:

  1. AMinimalų jungiamąjį medį
  2. BTrumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
  3. CTrumpiausius kelius grafuose, turinčiuose neigiamų briaunų svorių
  4. DTopologinę tvarką bet kuriame grafe
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ką reikia padaryti, norint parodyti, kad naujas uždavinys X yra NP-sunkus?

  1. AParodyti, kad X galima patikrinti per polinominį laiką
  2. BPer polinominį laiką redukuoti X į žinomą NP-sunkų uždavinį
  3. CPer polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
  4. DParodyti, kad X neturi polinominio algoritmo mažoms įvestims
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?

  1. ASusietieji sąrašai visada saugo elementus diske
  2. BMasyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
  3. CMasyvo apėjimas iš viso yra O(1), o susietojo sąrašo – O(n)
  4. DMasyvai reikšmėms palyginti naudoja mažiau instrukcijų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl duomenų bazės indeksams dažnai naudoja B+ medžius, o ne paprastus B medžius?

  1. AB+ medžiai naudoja dvejetainius vidinius mazgus, todėl sumažėja skaitymų iš disko
  2. BB+ medžiai duomenis saugo tik šaknyje
  3. CVisi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
  4. DB+ medžių nereikia balansuoti
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
39151916810112018ABCDEFG

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės

Kodėl tai yra atsakymas

BFS aplanko viršūnes pagal atstumą (briaunomis) nuo pradinės viršūnės, todėl per O(V + E) randa trumpiausius kelius nesvoriniame grafe.

Atsakymas

B · Trumpiausius kelius (pagal briaunų skaičių) nuo pradinės viršūnės
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X

Kodėl tai yra atsakymas

Jei žinomą sunkų uždavinį galima efektyviai transformuoti į X, greitas X algoritmas išspręstų ir žinomą uždavinį.

Atsakymas

C · Per polinominį laiką redukuoti žinomą NP-sunkų uždavinį į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)

Kodėl tai yra atsakymas

Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.

Atsakymas

B · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi

Kodėl tai yra atsakymas

B+ medyje vidiniai mazgai tik nukreipia paiešką, o lapai susieti raktų tvarka, todėl intervalo užklausa randa pirmąjį raktą ir tada eina lapais.

Atsakymas

C · Visi įrašai yra susietuose lapuose, todėl intervalų peržiūra efektyvi
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

A, B, C, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 64

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

AB (3): imti
EF (8): imti
AC (9): imti
GB (10): imti
GC (11): praleisti, uždaro ciklą
BC (15): praleisti, uždaro ciklą
DF (16): imti
GE (18): imti

Bendras svoris

W = 3 + 8 + 9 + 10 + 16 + 18 = 64

Atsakymas

W = 64

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms