Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra Bellmano–Fordo algoritmo laiko sudėtingumas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V³ × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Ar 22n priklauso O(2ⁿ)?

  1. ANe, nes 22n auga lėčiau už 2ⁿ
  2. BTaip, nes abu yra eksponentiniai
  3. CTaip, nes didžiajame O pastovūs laipsnio rodiklio daugikliai visada nepaisomi
  4. DNe, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą vykdoma programa naudoja aktyviems funkcijų kvietimams ir jų lokaliesiems kintamiesiems sekti?

  1. AKvietimų steką
  2. BRėmelių dvejetainį paieškos medį
  3. CFunkcijų maišos lentelę
  4. DDinaminės atminties (heap) eilę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Mazgas su dviem vaikais iš dvejetainio paieškos medžio paprastai šalinamas:

  1. APakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
  2. BSukeičiant jį su šaknimi
  3. CPašalinant visą pomedį
  4. DPerstatant po juo esantį pomedį iš naujo ir iš naujo įterpiant kiekvieną jame buvusį raktą
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 11 viršūnių ir 16 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 11|E| = 16
k =
6.Grafų teorijaSunkus
7912161314ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 3; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 3
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · O(V × E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas iš V − 1 etapų relaksuoja visas E briaunas, todėl gaunama O(VE); mainais algoritmas tvarkosi su neigiamais briaunų svoriais.

Atsakymas

A · O(V × E)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Ne, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai

Kodėl tai yra atsakymas

Prie laipsnio rodiklio pridėta konstanta duoda pastovų daugiklį, bet konstanta, iš kurios dauginamas laipsnio rodiklis, pakeičia pagrindą ir augimo greitį.

Atsakymas

D · Ne, nes 22n = 4ⁿ, o 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ auga neaprėžtai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kvietimų steką

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas kvietimas įdeda steko rėmelį, o kiekvienas grįžimas jį išima, todėl naujausias kvietimas baigiasi pirmas.

Atsakymas

A · Kvietimų steką
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą

Kodėl tai yra atsakymas

In-order įpėdinis turi ne daugiau kaip vieną vaiką, todėl jį lengva pašalinti, nukopijavus jo raktą į šalinamą mazgą.

Atsakymas

A · Pakeičiant jį in-order įpėdiniu (arba pirmtaku) ir pašalinant tą mazgą
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

11 − 1 = 10

Pašalintinos briaunos

k = 16 − 10 = 6

Atsakymas

k = 6
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna AB

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. CE (1)
2. DE (3)
3. AB (7)
4. AC (9)

briaunos numeris 3

AB

Atsakymas

briauna AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms