Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + O(1) sprendinys?

AO(n²)
BO(n log n)
CO(n)
DO(log n)

2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Koks yra dvejetainės krūvos sudarymo iš n nesurikiuotų elementų metodu „iš apačios į viršų“ (bottom-up) laiko sudėtingumas?

AO(n log n)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

3.Duomenų struktūrosVidutinis

Turite nuorodą į mazgą sąrašo viduryje. Kuriame sąraše jį galite pašalinti per O(1)?

ASurikiuotame masyve
BDinaminiame masyve
CVienkrypčiame susietajame sąraše
DDvikrypčiame susietajame sąraše

4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokios yra vienkrypčio susietojo sąrašo apvertimo vietoje laiko ir papildomos atminties sąnaudos?

AO(n) laiko ir O(n) papildomos atminties
BO(1) laiko ir O(1) papildomos atminties
CO(n) laiko ir O(1) papildomos atminties
DO(n log n) laiko ir O(1) papildomos atminties

5.Grafų teorijaVidutinis

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 6

1Oilerio ciklas
2Oilerio kelias, ne ciklas
3nei viena

6.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Pagal pagrindinę teoremą (master theorem) n^{log₂ 2} = n dominuoja pastovų darbą, todėl T(n) = Θ(n), kaip ieškant maksimumo dalijant pusiau.

Atsakymas

C · O(n)

2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus nuslinkimo žemyn (sift-down) kainas per visus lygius gaunama konverguojanti eilutė, todėl krūvos sudarymas (heapify) vyksta per tiesinį laiką.

Atsakymas

C · O(n)

3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Dvikrypčiame susietajame sąraše

Kodėl tai yra atsakymas

Dvikrypčio sąrašo mazgas žino savo pirmtaką, todėl galite tiesiogiai sujungti prev ir next; vienkrypčiame sąraše pirmtako reikia ieškoti.

Atsakymas

D · Dvikrypčiame susietajame sąraše

4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

Kodėl tai yra atsakymas

Laikant tris rodykles (ankstesnę, einamąją, kitą), kiekvieną ryšį galima apversti vienu perėjimu, neišskiriant naujų mazgų.

Atsakymas

C · O(n) laiko ir O(1) papildomos atminties

5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio kelias, ne ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

A, F → 2

Oilerio kelias, ne ciklas

Atsakymas

Oilerio kelias, ne ciklas

Oilerio kelias prasideda vienoje nelyginėje viršūnėje ir baigiasi kitoje.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 15

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 15, C: 2

C (2): B: 10, E: 11

B (10): D: 19

E (11): F: 15

F (15)

D (19)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F

d(F) = 15

Atsakymas

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms