Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 1,000
  2. BApie 500,000
  3. CApie 100
  4. DApie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. AJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  2. BTies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  3. CNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
  4. DViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja grafo su V viršūnių gretimumo matrica?

  1. AO(V²)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V + E)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?

  1. AAukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
  2. BAukštis ne didesnis kaip n / 2
  3. CAukštis lygiai log2 n
  4. DAukštis ne didesnis kaip log2 n + 1
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
9511131098834ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

D · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

D · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(V²)

Kodėl tai yra atsakymas

Gretimumo matrica saugo V × V įrašų, tai efektyvu tankiems grafams; gretimumo sąrašai naudoja O(V + E) ir geriau tinka retiems grafams.

Atsakymas

A · O(V²)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).

Atsakymas

A · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Nelyginės viršūnės

B, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 9, C: 5
C (5): E: 18, G: 13
B (9)
G (13): D: 16, E: 17
D (16): F: 26
E (17)
F (26)

Trumpiausias kelias

A → C → G → D → F
d(F) = 26

Atsakymas

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms