Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuri godžioji taisyklė veiklų atrankos uždavinyje visada duoda didžiausią nepersidengiančių veiklų skaičių?

  1. APasirinkti anksčiausiai prasidedančią veiklą
  2. BPirmiausia pasirinkti veiklą, turinčią mažiausiai persidengimų, tada kartoti su suderinamomis
  3. CPirmiausia pasirinkti trumpiausią veiklą
  4. DPasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

  1. ANeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
  2. BAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo
  3. CNeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
  4. DPraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Duomenų struktūrosSunkus

Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?

  1. APosūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
  2. BPerkelia pasiektą mazgą į lapą
  3. CPerspalvina paieškos kelio mazgus
  4. DPerstato visą medį į subalansuotą formą
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 3 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio maršrutų iš C į E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis

Kodėl tai yra atsakymas

Anksčiausios pabaigos pasirinkimo optimalumą galima įrodyti mainų argumentu; kitoms taisyklėms yra kontrpavyzdžių.

Atsakymas

D · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

A · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 4 5 2 3 1

Kodėl tai yra atsakymas

Postorder apdoroja 4 ir 5 prieš 2, tada 3 ir galiausiai šaknį 1.

Atsakymas

A · 4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį

Kodėl tai yra atsakymas

Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).

Atsakymas

A · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 19

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 33 = 2(L + 8) − 2
L = 19

Atsakymas

L = 19

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 1

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)CE = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 = 1

Atsakymas

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms