Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuri godžioji taisyklė veiklų atrankos uždavinyje visada duoda didžiausią nepersidengiančių veiklų skaičių?

  1. APasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
  2. BPasirinkti anksčiausiai prasidedančią veiklą
  3. CPirmiausia pasirinkti veiklą, turinčią mažiausiai persidengimų, tada kartoti su suderinamomis
  4. DPirmiausia pasirinkti trumpiausią veiklą
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?

  1. AO(log n) vienam padidinimui
  2. BO(n log n) vienam padidinimui
  3. CO(n) vienam padidinimui
  4. DO(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 2 5 1 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kam Kruskalo minimalaus jungiamojo medžio algoritme naudojama union-find struktūra?

  1. APaieškos metu saugoti dabartinį kiekvienos viršūnės atstumą nuo šaltinio
  2. BPatikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
  3. CSurikiuoti briaunas pagal svorį
  4. DParinkti pradinę viršūnę
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 11 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 11
k =
6.Grafų teorijaSunkus
43151213616111720ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 6; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 6
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna DF
  8. 8briauna EF
  9. 9briauna GB
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis

Kodėl tai yra atsakymas

Anksčiausios pabaigos pasirinkimo optimalumą galima įrodyti mainų argumentu; kitoms taisyklėms yra kontrpavyzdžių.

Atsakymas

A · Pasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · O(1) vienam padidinimui

Kodėl tai yra atsakymas

Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.

Atsakymas

D · O(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · 4 5 2 3 1

Kodėl tai yra atsakymas

Postorder apdoroja 4 ir 5 prieš 2, tada 3 ir galiausiai šaknį 1.

Atsakymas

D · 4 5 2 3 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti

Kodėl tai yra atsakymas

Find parodo, ar abu galai yra toje pačioje komponentėje; jei ne, briauna pridedama, o union sujungia komponentes.

Atsakymas

B · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 11 − 5 = 6

Atsakymas

k = 6
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna GB

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. AC (3)
2. AB (4)
3. DE (6)
4. EF (11)
5. BD (12)
6. GB (17)

briaunos numeris 6

GB

Atsakymas

briauna GB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms