Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Maždaug kiek palyginimų blogiausiu atveju reikia dvejetainei paieškai surikiuotame 1,000,000 elementų masyve?

  1. AApie 1,000
  2. BApie 20
  3. CApie 500,000
  4. DApie 100
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

  1. ANeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
  2. BNeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
  3. CPraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
  4. DAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia rakto paieškos subalansuotame dvejetainiame paieškos medyje laiko sudėtingumas?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kam Kruskalo minimalaus jungiamojo medžio algoritme naudojama union-find struktūra?

  1. APatikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
  2. BSurikiuoti briaunas pagal svorį
  3. CPaieškos metu saugoti dabartinį kiekvienos viršūnės atstumą nuo šaltinio
  4. DParinkti pradinę viršūnę
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 3 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 3 ilgio maršrutų iš E į C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 3
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Apie 20

Kodėl tai yra atsakymas

220 ≈ 1,048,576, todėl po maždaug 20 dalijimų pusiau lieka tik vienas elementas.

Atsakymas

B · Apie 20
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Subalansuoto medžio aukštis yra apie log₂ n, todėl paieška eina vienu keliu nuo šaknies iki lapo.

Atsakymas

A · O(log n)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti

Kodėl tai yra atsakymas

Find parodo, ar abu galai yra toje pačioje komponentėje; jei ne, briauna pridedama, o union sujungia komponentes.

Atsakymas

A · Patikrinti, ar abu briaunos galai jau sujungti
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 24

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 50 = 2(L + 14) − 2
L = 24

Atsakymas

L = 24

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 6

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Dar vienas žingsnis

(M³)EC = 2·1 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 3·1 = 6

Atsakymas

N = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms