Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra n-tojo Fibonačio skaičiaus skaičiavimo laiko sudėtingumas, naudojant lentelę „iš apačios į viršų“?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kas išplauktų, jei kas nors rastų polinominio laiko algoritmą vienam NP-pilnam uždaviniui?

  1. ATik tas vienas uždavinys pereitų į P
  2. BStabdymo problema taptų išsprendžiama
  3. CKiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
  4. DVisi eksponentinio laiko algoritmai nedelsiant imtų veikti tiesiniu laiku
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip dvejetainėje min krūvoje veikia extract-min?

  1. APaskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
  2. BPašalinamas paskutinis masyvo elementas
  3. CNaujo minimumo ieškoma visuose lapuose
  4. DPašalinama šaknis, o visi elementai pastumiami viena vieta į kairę
4.Duomenų struktūrosSunkus

Koks pagrindinis šuolių sąrašo (skip list) pranašumas prieš surikiuotą susietąjį sąrašą?

  1. AJis saugo raktus be tvarkos
  2. BJis nenaudoja papildomos atminties
  3. CTikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
  4. DGarantuota O(1) paieška, nes kiekvienas mazgas saugo rodyklę į kiekvieną kitą mazgą
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFGOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Užpildant lentelę nuo 0 iki n, kiekvienam įrašui reikia vienos sudėties, todėl darbas tiesinis, o ne eksponentinis.

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi visa NP klasė per polinominį laiką redukuojama į bet kurį NP-pilną uždavinį, greitas algoritmas vienam duoda greitą algoritmą visiems.

Atsakymas

C · Kiekvieną NP uždavinį būtų galima išspręsti per polinominį laiką, taigi P = NP
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)

Kodėl tai yra atsakymas

Paskutinis elementas užpildo tuščią vietą šaknyje ir keičiamas vietomis su mažesniuoju vaiku, kol galioja krūvos savybė; tai užtrunka O(log n).

Atsakymas

A · Paskutinis elementas perkeliamas į šaknį ir leidžiamas žemyn (sift down)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis

Kodėl tai yra atsakymas

Atsitiktiniai lygmenys leidžia paieškai praleisti daug mazgų, todėl paieškos, įterpimo ir šalinimo tikėtinas sudėtingumas yra O(log n).

Atsakymas

C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
5.Grafų teorija

Atsakymas: Oilerio ciklas

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Nelyginės viršūnės

0
Oilerio ciklas

Atsakymas

Oilerio ciklas
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 0
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Bendri kaimynai

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms