Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris rikiavimo algoritmas yra stabilus?

  1. ARikiavimas suliejimu
  2. BRikiavimas išrinkimu (įprasta versija)
  3. CGreitasis rikiavimas (įprasta versija vietoje)
  4. DRikiavimas krūva
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Strasseno algoritmas matricas daugina naudodamas 7, o ne 8 rekursines pusės dydžio blokų daugybas. Koks jo vykdymo laikas?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(nlog₂ 7), apie n2,81
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kokia kaina įterpti elementą į n elementų masyvo vidurį?

  1. AO(log n), dėl dvejetainės paieškos
  2. BO(n²), nes kiekvienas elementas pajuda n kartų
  3. CO(1), nes indeksas žinomas
  4. DO(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūrosSunkus

AVL mazgas nesubalansuotas, nes jo kairiojo vaiko dešinysis pomedis tapo per aukštas (kairė–dešinė atvejis). Koks taisymas taikomas?

  1. AKairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge
  2. BVienas kairysis posūkis mazge
  3. CVienas dešinysis posūkis mazge
  4. DDešinysis posūkis kairiajame vaike, tada kairysis posūkis mazge
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K8? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K8
H =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Rikiavimas suliejimu

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas suliejimu yra stabilus, jei esant lygiems raktams suliejant pirmiausia imamas elementas iš kairiosios pusės. Greitasis rikiavimas vietoje, rikiavimas krūva ir rikiavimas išrinkimu paprastai nėra stabilūs.

Atsakymas

A · Rikiavimas suliejimu
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Θ(nlog₂ 7), apie n2,81

Kodėl tai yra atsakymas

Kai a = 7 ir b = 2, nlog₂ 7 dominuoja O(n²) sudėties darbą, todėl gaunama apie n2,81.

Atsakymas

D · Θ(nlog₂ 7), apie n2,81
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti

Kodėl tai yra atsakymas

Visi elementai po įterpimo vietos pasislenka viena pozicija į dešinę, o tai užtrunka n proporcingą laiką.

Atsakymas

D · O(n), nes vėlesnius elementus reikia pastumti
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Pirmasis posūkis kairė–dešinė atvejį paverčia kairė–kairė atveju, kurį tada ištaiso dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge.

Atsakymas

A · Kairysis posūkis kairiajame vaike, tada dešinysis posūkis mazge
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 2520

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Atsakymas

H = 2520
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms