Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kiek lygmenų turi rikiavimo suliejimu rekursija n elementų masyvui?

  1. AApie √n
  2. BApie n
  3. CApie n / 2
  4. DApie log₂ n
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuo skiriasi neišsprendžiamas uždavinys nuo praktiškai neišsprendžiamo (intractable)?

  1. APraktiškai neišsprendžiamų uždavinių negali išspręsti joks algoritmas, o neišsprendžiamiems reikia tik eksponentinio laiko
  2. BNeišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
  3. CAbu reiškia, kad uždavinys visai neturi algoritmo
  4. DNeišsprendžiami uždaviniai priklauso NP, o praktiškai neišsprendžiami – P
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek mazgų turi tobulas dvejetainis medis, kurio aukštis h (aukštis skaičiuojamas briaunomis)?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurias operacijas Fenwicko medis (binary indexed tree) n skaičių masyvui palaiko per O(log n)?

  1. AElementų įterpimą bet kurioje pozicijoje
  2. BMedianos radimą per O(1)
  3. CMasyvo rikiavimą ir dvejetainę paiešką
  4. DPrefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 44 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
69861414412ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Apie log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Dalijant pusiau nuo n iki 1, reikia apie log₂ n lygmenų, o kiekviename lygmenyje atliekama O(n) suliejimo darbo, todėl gaunama O(n log n).

Atsakymas

D · Apie log₂ n
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko

Kodėl tai yra atsakymas

Stabdymo problema visai neturi algoritmo; NP-sunkų uždavinį, pvz., TSP, galima išspręsti perrinkimu, tik ne per žinomą polinominį laiką.

Atsakymas

B · Neišsprendžiamo uždavinio visoms įvestims neišsprendžia joks algoritmas, o praktiškai neišsprendžiamas yra išsprendžiamas, bet reikalauja per daug laiko
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · 2h+1 − 1

Kodėl tai yra atsakymas

Susumavus 1 + 2 + 4 + ... + 2h gaunama 2h+1 − 1; pavyzdžiui, kai aukštis 2, yra 7 mazgai.

Atsakymas

A · 2h+1 − 1
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus

Kodėl tai yra atsakymas

Fenwicko medis saugo dalines sumas intervaluose, kuriuos nusako kiekvieno indekso žemesnieji bitai, todėl ir prefiksų sumos, ir taškiniai atnaujinimai užtrunka O(log n).

Atsakymas

D · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 6

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Atsakymas

L = 6

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 22

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 6
B (6): C: 15, D: 14, E: 18
D (14): F: 28
C (15)
E (18): F: 22
F (22)

Trumpiausias kelias

A → B → E → F
d(F) = 22

Atsakymas

d(F) = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms