Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.
1Formulės ir metodai
Grafų teorija
Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij
Metodas
Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).
2Uždaviniai
1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis
Turint 1, 3 ir 4 vertės monetas ir 6 sumą, kiek monetų panaudoja godusis metodas „pirmiausia didžiausia moneta“, palyginti su optimaliu sprendiniu?
Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?
AO(n log n) vienam padidinimui
BO(log n) vienam padidinimui
CO(1) vienam padidinimui
DO(n) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūrosVidutinis
Prefiksų medis (trie) ypač efektyvus:
AMatricų saugojimui
BPrefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
CSkaičių rikiavimui
DTrumpiausių kelių paieškai
4.Duomenų struktūrosSunkus
Kahno topologinio rikiavimo algoritmas pakartotinai šalina viršūnes, kurių įeinantis laipsnis lygus 0. Kuri struktūra laiko šias viršūnes?
AGretimumo matrica, žyminti, kurios viršūnės jau pašalintos
BPagal išeinantį laipsnį sutvarkyta max krūva
CVisų aplankytų briaunų stekas
DViršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
5.Grafų teorijaVidutinis
Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?
2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 6 etape; pats A yra 1 etapas.
Godusis metodas paima 4 + 1 + 1 = 3 monetas, bet 3 + 3 panaudoja tik 2, todėl šiai monetų sistemai godusis metodas nėra optimalus; dinaminis programavimas – optimalus.
Atsakymas
C · Godusis panaudoja 3 monetas; optimalus sprendinys – 2
2.Algoritmai ir sudėtingumas
Atsakymas: C · O(1) vienam padidinimui
Kodėl tai yra atsakymas
Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.
Atsakymas
C · O(1) vienam padidinimui
3.Duomenų struktūros
Atsakymas: B · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
Kodėl tai yra atsakymas
Trie saugo eilutes simboliais keliuose, todėl paieška ir prefiksų užklausos trunka laiką, proporcingą rakto ilgiui.
Atsakymas
B · Prefiksų paieškai, pavyzdžiui, automatiniam užbaigimui
4.Duomenų struktūros
Atsakymas: D · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
Kodėl tai yra atsakymas
Paruoštos viršūnės laikomos eilėje; pašalinus vieną, sumažėja jos kaimynų įeinantys laipsniai, o pasiekusios 0 pridedamos, todėl laikas yra O(V + E).
Atsakymas
D · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
5.Grafų teorija
Atsakymas: L = 24
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Rankų paspaudimo lema medžiui
L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24
Atsakymas
L = 24
Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.
6.Grafų teorija
Atsakymas: F
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.