Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Naivaus rekursyvaus Fibonačio skaičių skaičiavimo (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) laiko sudėtingumas yra:

  1. APastovus
  2. BEksponentinis
  3. CLogaritminis
  4. DTiesinis
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Heldo–Karpo dinaminio programavimo algoritmas tiksliai išsprendžia keliaujančio pirklio uždavinį. Koks jo vykdymo laikas n miestų?

  1. AO(n³)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n!)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl masyvo apėjimas praktikoje dažnai daug greitesnis nei tokio pat ilgio susietojo sąrašo apėjimas?

  1. AMasyvai reikšmėms palyginti naudoja mažiau instrukcijų
  2. BMasyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
  3. CSusietieji sąrašai visada saugo elementus diske
  4. DMasyvo apėjimas iš viso yra O(1), o susietojo sąrašo – O(n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Koks pagrindinis šuolių sąrašo (skip list) pranašumas prieš surikiuotą susietąjį sąrašą?

  1. AJis saugo raktus be tvarkos
  2. BJis nenaudoja papildomos atminties
  3. CTikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
  4. DGarantuota O(1) paieška, nes kiekvienas mazgas saugo rodyklę į kiekvieną kitą mazgą
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEFOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
358151319201ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Eksponentinis

Kodėl tai yra atsakymas

Iškvietimų medis auga maždaug kaip φⁿ (apie 1,618ⁿ). Memoizacija sumažina sudėtingumą iki O(n).

Atsakymas

B · Eksponentinis
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n² 2ⁿ)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra apie n 2ⁿ būsenų, kurių kiekviena apskaičiuojama per O(n); tai eksponentinis laikas, bet daug greitesnis nei visų (n − 1)! maršrutų išbandymas.

Atsakymas

B · O(n² 2ⁿ)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)

Kodėl tai yra atsakymas

Vientisa atmintis užtikrina gerą kreipčių lokalumą, o susieti mazgai gali būti išbarstyti ir sukelti daug podėlio praleidimų.

Atsakymas

B · Masyvo elementai išdėstyti vientisai, todėl gerai išnaudoja procesoriaus podėlį (cache)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis

Kodėl tai yra atsakymas

Atsitiktiniai lygmenys leidžia paieškai praleisti daug mazgų, todėl paieškos, įterpimo ir šalinimo tikėtinas sudėtingumas yra O(log n).

Atsakymas

C · Tikėtina O(log n) paieška naudojant kelis į priekį rodančių rodyklių lygmenis
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Nelyginės viršūnės

B, C, E, F → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 36

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

BE (1): imti
AC (3): imti
BC (5): imti
BD (8): imti
DE (13): praleisti, uždaro ciklą
CE (15): praleisti, uždaro ciklą
DF (19): imti

Bendras svoris

W = 1 + 3 + 5 + 8 + 19 = 36

Atsakymas

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms