Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris teiginys apie rekursinę funkciją be pasiekiamo bazinio atvejo teisingas?

  1. AJi automatiškai grąžina 0
  2. BKompiliatorius visada ją paverčia ciklu, kuris saugiai pasibaigia
  3. CJi vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas
  4. DJi veikia per O(1) laiką
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Heldo–Karpo dinaminio programavimo algoritmas tiksliai išsprendžia keliaujančio pirklio uždavinį. Koks jo vykdymo laikas n miestų?

  1. AO(n!)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n³)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek laiko užtrunka L ilgio žodžio paieška Trie medyje su fiksuota abėcėle?

  1. AO(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
  2. BO(n), kur n yra žodžių skaičius
  3. CO(log n), kur n yra žodžių skaičius
  4. DO(L × n)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kuris teiginys apie rikiavimą krūva (heapsort) teisingas?

  1. AJam reikia dvejetainio paieškos medžio kaip papildomos atminties, todėl jis naudoja O(n) papildomos atminties
  2. BSu bet kokia įvestimi jis veikia per O(n)
  3. CJis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
  4. DJis stabilus ir jam reikia O(n) papildomos atminties
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 44 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDEF

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Ji vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas

Kodėl tai yra atsakymas

Be bazinio atvejo rekursija niekada nesibaigia; praktiškai pritrūksta atminties steko rėmeliams ir programa nulūžta.

Atsakymas

C · Ji vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n² 2ⁿ)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra apie n 2ⁿ būsenų, kurių kiekviena apskaičiuojama per O(n); tai eksponentinis laikas, bet daug greitesnis nei visų (n − 1)! maršrutų išbandymas.

Atsakymas

B · O(n² 2ⁿ)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas simbolis parenka vieną vaiką, todėl paieška užtrunka L žingsnių, kad ir kiek žodžių būtų Trie medyje.

Atsakymas

A · O(L), nepriklausomai nuo saugomų žodžių skaičiaus
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimas krūva sudaro max krūvą ir n kartų išima maksimumą tame pačiame masyve; sukeitimai dideliais atstumais gali pakeisti vienodų raktų tvarką.

Atsakymas

C · Jis rikiuoja vietoje per O(n log n) blogiausiu atveju, bet nėra stabilus
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 22

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 36 = 2(L + 8) − 2
L = 22

Atsakymas

L = 22

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 4

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Atsakymas

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms