Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Surikiuotame masyve ieškote dviejų elementų, kurių suma lygi tikslinei, judindami po vieną rodyklę nuo kiekvieno galo į vidų. Koks laiko sudėtingumas?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Rikiavimas įterpimu surikiuotai įvesčiai veikia per O(n). Ar tai prieštarauja rikiavimo palyginimais apatiniam rėžiui Ω(n log n)?

  1. ATaip, bet tik trumpesniems nei 100 masyvams
  2. BNe, nes rikiavimas įterpimu nėra rikiavimas palyginimais
  3. CNe, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
  4. DTaip, todėl apatinis rėžis neteisingas
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kiek atminties naudoja gretimumo sąrašas grafui su V viršūnių ir E briaunų?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl iš standartinio Bloomo filtro elementų negalima tiesiog pašalinti išvalant jų bitus?

  1. ABloomo filtro bitų negalima keisti po sukūrimo
  2. BŠalinimas padidintų klaidingai teigiamų atsakymų dažnį iki 100%
  3. CTie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
  4. DBloomo filtrai saugo visus elementus, o suhešavus jų vėl neįmanoma rasti
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 4 viršūnių, kurių laipsnis 4, 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, 2 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Grafų teorijaSunkus
17201181078131912ABCDEFG

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 2
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna DF
  8. 8briauna EF
  9. 9briauna GD
  10. 10briauna GE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n)

Kodėl tai yra atsakymas

Jei suma per maža, kairioji rodyklė juda į dešinę, jei per didelė – dešinioji juda į kairę, todėl žingsnių yra daugiausia n.

Atsakymas

B · O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai

Kodėl tai yra atsakymas

Rėžis teigia, kad kiekvienam rikiavimui palyginimais su kuria nors n dydžio įvestimi reikia apie n log n palyginimų; ypatingos įvestys gali būti apdorojamos daug greičiau.

Atsakymas

C · Ne, apatinis rėžis taikomas blogiausiam atvejui tarp visų įvesčių, o ne kiekvienai įvesčiai
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · O(V + E)

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekviena viršūnė turi sąrašą, o kiekviena briauna pasirodo vieną kartą (kryptiniame) arba dukart (nekryptiniame grafe), todėl gaunama O(V + E).

Atsakymas

D · O(V + E)
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai

Kodėl tai yra atsakymas

Išvalius bendrą bitą, kitas elementas atrodytų nesantis; skaičiuojantieji Bloomo filtrai vietoj bitų laiko skaitiklius, kad būtų galima šalinti.

Atsakymas

C · Tie bitai gali priklausyti ir kitiems elementams, todėl atsirastų klaidingai neigiami atsakymai
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 24

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 46 = 2(L + 12) − 2
L = 24

Atsakymas

L = 24

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna DE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BC (1)
2. DE (7)
3. DF (8)
4. CE (10)
5. GE (12)
6. AB (17)

briaunos numeris 2

DE

Atsakymas

briauna DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms