Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Palyginimais pagrįsto rikiavimo apatinis rėžis blogiausiu atveju yra:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuriuos du dalykus reikia parodyti, norint įrodyti, kad sprendimo uždavinys X yra NP-pilnas?

  1. AX redukuojamas į P uždavinį, ir X priklauso NP
  2. BX neturi polinominio algoritmo, ir X yra išsprendžiamas
  3. CX priklauso P, ir X redukuojamas į SAT
  4. DX priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio paieškos medžio mazgas turi dešinįjį pomedį. Kur yra jo in-order įpėdinis?

  1. AKairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
  2. BDešiniausias jo kairiojo pomedžio mazgas
  3. CVisada jo tėvas
  4. DVisada jo dešinysis vaikas
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kahno topologinio rikiavimo algoritmas pakartotinai šalina viršūnes, kurių įeinantis laipsnis lygus 0. Kuri struktūra laiko šias viršūnes?

  1. APagal išeinantį laipsnį sutvarkyta max krūva
  2. BViršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
  3. CGretimumo matrica, žyminti, kurios viršūnės jau pašalintos
  4. DVisų aplankytų briaunų stekas
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 3, 3 viršūnių, kurių laipsnis 4, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 33 × deg 4
L =
6.Grafų teorijaSunkus
10313151011715610ABCDEFG

Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 5 etape; pats A yra 1 etapas.

pradžia: Aetapas 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Ω(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Bet kuriam palyginimais pagrįstam rikiavimui blogiausiu atveju reikia bent log₂(n!) ≈ n log n palyginimų. Rikiavimas skaičiavimu (counting sort) šį rėžį aplenkia, nes nelygina elementų.

Atsakymas

B · Ω(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X

Kodėl tai yra atsakymas

Priklausymas NP rodo, kad X nėra sunkesnis už NP; redukcija iš žinomo NP-pilno uždavinio rodo, kad X yra bent tokio pat sunkumo kaip visa NP klasė.

Atsakymas

D · X priklauso NP, ir žinomas NP-pilnas uždavinys per polinominį laiką redukuojamas į X
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas

Kodėl tai yra atsakymas

Visi didesni, mazgui artimi raktai yra jo dešiniajame pomedyje, o mažiausias iš jų yra ten esantis kairiausias mazgas.

Atsakymas

A · Kairiausias jo dešiniojo pomedžio mazgas
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)

Kodėl tai yra atsakymas

Paruoštos viršūnės laikomos eilėje; pašalinus vieną, sumažėja jos kaimynų įeinantys laipsniai, o pasiekusios 0 pridedamos, todėl laikas yra O(V + E).

Atsakymas

B · Viršūnių, kurių įeinantis laipsnis 0, eilė (ar bet kuri kolekcija)
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 10

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 18 = 2(L + 5) − 2
L = 10

Atsakymas

L = 10

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: G

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

1. A (0): B: 10, C: 3
2. C (3): E: 13, G: 18
3. B (10): D: 25, G: 17
4. E (13): F: 24
5. G (17): D: 23
6. D (23)
7. F (24)

etapas 5

G

Atsakymas

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms