Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ar teisinga sakyti, kad O(n²) algoritmas yra ir O(n³)?

  1. ANe, nes dideliems n n³ mažesnis už n²
  2. BTaip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
  3. CNe, nes didysis O visada turi nurodyti tikslų funkcijos augimo greitį
  4. DTaip, bet tik jei n mažesnis už 100
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Sustojimo problema parodo, kad:

  1. AKiekviena programa anksčiau ar vėliau sustoja
  2. BCiklų reikėtų vengti
  3. CJoks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
  4. DKai kurios programos greitesniuose kompiuteriuose veikia greičiau, todėl sustojimas priklauso nuo aparatinės įrangos
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kur yra mazgo su indeksu i tėvas dvejetainėje krūvoje, saugomoje masyve nuo indekso 0?

  1. AIndeksu ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BIndeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CIndeksu 2i + 1
  4. DIndeksu i − 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kodėl B medžiai naudojami duomenų bazėse ir failų sistemose?

  1. AJie saugo nesurikiuotus duomenis
  2. BDidelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
  3. CJie naudoja mažiau atminties nei bet koks masyvas, todėl visas indeksas visada telpa operatyviojoje atmintyje
  4. DJų nereikia perbalansuoti
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 16 viršūnių ir 24 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 16|E| = 24
k =
6.Grafų teorijaSunkus
3126141251311ABCDEF

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³

Kodėl tai yra atsakymas

Didysis O yra viršutinis rėžis, todėl teiginys teisingas, bet ne glaudus; Θ(n²) nurodo tikslų augimo greitį.

Atsakymas

B · Taip, nes didysis O yra viršutinis rėžis, o n² auga ne greičiau už n³
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos

Kodėl tai yra atsakymas

Tiuringas parodė, kad sustojimo problema yra neišsprendžiama: prielaida, kad egzistuoja ją sprendžiantis algoritmas, veda į prieštarą su programa, kuri elgiasi priešingai.

Atsakymas

C · Joks algoritmas negali kiekvienai programai ir įvesčiai nuspręsti, ar ji sustos
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋

Kodėl tai yra atsakymas

Mazgo i vaikai yra 2i + 1 ir 2i + 2, todėl i tėvas yra ⌊(i − 1) / 2⌋; indeksuojant nuo 1 tai ⌊i / 2⌋.

Atsakymas

B · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: B · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių

Kodėl tai yra atsakymas

B medžiai viename mazge saugo daug raktų, todėl aukštis mažas ir vienai paieškai reikia nedaug bloko skaitymų; B+ medžiai dar sujungia lapus intervalų skenavimui.

Atsakymas

B · Didelis šakojimosi koeficientas išlaiko medį žemą ir sumažina lėtų disko skaitymų skaičių
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 9

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

16 − 1 = 15

Pašalintinos briaunos

k = 24 − 15 = 9

Atsakymas

k = 9
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 27

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 3, C: 12
B (3): C: 9, E: 14
C (9)
E (14): D: 26, F: 27
D (26)
F (27)

Trumpiausias kelias

A → B → E → F
d(F) = 27

Atsakymas

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms