Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Palyginimais pagrįsto rikiavimo apatinis rėžis blogiausiu atveju yra:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Topologinis rikiavimas galimas tik:

  1. AGrafams su neigiamais svoriais
  2. BPilniesiems grafams
  3. CNekryptiniams grafams
  4. DKryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kur yra mazgo su indeksu i tėvas dvejetainėje krūvoje, saugomoje masyve nuo indekso 0?

  1. AIndeksu i − 1
  2. BIndeksu 2i + 1
  3. CIndeksu ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DIndeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kad maišos lentelė veiktų teisingai, kokios taisyklės turi laikytis maišos funkcija ir lygybė?

  1. AMaišos reikšmės turi būti pirminiai skaičiai
  2. BVienodos maišos reikšmės reiškia lygius raktus
  3. CLygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes
  4. DSkirtingi raktai turi turėti skirtingas maišos reikšmes
5.Grafų teorijaVidutinis
ABCDEOilerio ciklasOilerio kelias, ne ciklasnei viena

Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Oilerio ciklas
  2. 2Oilerio kelias, ne ciklas
  3. 3nei viena
6.Grafų teorijaSunkus
101411820712ABCDE

Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 4; praleistos briaunos neskaičiuojamos.

k = 4
  1. 1briauna AB
  2. 2briauna AC
  3. 3briauna BC
  4. 4briauna BD
  5. 5briauna CE
  6. 6briauna DE
  7. 7briauna BE

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Ω(n log n)

Kodėl tai yra atsakymas

Bet kuriam palyginimais pagrįstam rikiavimui blogiausiu atveju reikia bent log₂(n!) ≈ n log n palyginimų. Rikiavimas skaičiavimu (counting sort) šį rėžį aplenkia, nes nelygina elementų.

Atsakymas

D · Ω(n log n)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Kryptiniams acikliniams grafams

Kodėl tai yra atsakymas

Topologinė tvarka egzistuoja tada ir tik tada, kai kryptinis grafas neturi ciklų; ją galima rasti per O(V + E) naudojant DFS arba Kano algoritmą.

Atsakymas

D · Kryptiniams acikliniams grafams
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋

Kodėl tai yra atsakymas

Mazgo i vaikai yra 2i + 1 ir 2i + 2, todėl i tėvas yra ⌊(i − 1) / 2⌋; indeksuojant nuo 1 tai ⌊i / 2⌋.

Atsakymas

D · Indeksu ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Lygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes

Kodėl tai yra atsakymas

Jei dviejų lygių raktų maišos reikšmės skirtųsi, jie būtų saugomi skirtinguose kibiruose ir paieška nepavyktų; nelygūs raktai vis tiek gali turėti tą pačią maišos reikšmę.

Atsakymas

C · Lygūs raktai turi turėti vienodas maišos reikšmes
5.Grafų teorija

Atsakymas: nei viena

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Laipsniai

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Nelyginės viršūnės

A, C, D, E → 4
nei viena

Atsakymas

nei viena
6.Grafų teorija

Atsakymas: briauna BE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

1. BC (1)
2. DE (7)
3. AB (10)
4. BE (12)

briaunos numeris 4

BE

Atsakymas

briauna BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms