Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kodėl dinaminis programavimas realiai nepagreitina rikiavimo suliejimu?

  1. AJo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
  2. BDinaminis programavimas veikia tik su grafų uždaviniais, bet ne su masyvais
  3. CRikiavimas suliejimu neturi rekursinės struktūros
  4. DRikiavimas suliejimu jau yra O(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl Dijkstros algoritmas gali duoti neteisingus rezultatus, kai kai kurie briaunų svoriai neigiami?

  1. AJis veikia tik su nekryptiniais grafais
  2. BNeigiamų skaičių negalima saugoti prioritetinėje eilėje
  3. CTies kiekviena neigiama briauna jis patenka į begalinį ciklą
  4. DViršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

  1. AVisi krūvos raktai lygūs
  2. BMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia
  3. CTai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
  4. DKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
4.Duomenų struktūrosSunkus

Įterpus raktą į AVL medį, mazgo kairysis pomedis tampa per aukštas, o naujas raktas pateko į jo kairiojo vaiko kairįjį pomedį (kairė–kairė atvejis). Koks taisymas taikomas?

  1. AVienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
  2. BKairysis posūkis vaike, tada dešinysis posūkis mazge
  3. CVienas kairysis posūkis nesubalansuotame mazge
  4. DMazgo ir jo vaiko perspalvinimas
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 18 viršūnių ir 29 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.Grafų teorijaSunkus
1551461276121510ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki G svertiniame grafe ilgį d(G).

pradžia: Apabaiga: G
d(G) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti

Kodėl tai yra atsakymas

Rikiavimo suliejimu pusės nesikerta ir kiekviena sprendžiama vieną kartą; DP padeda tik tada, kai daliniai uždaviniai kartojasi, kaip Fibonačio atveju.

Atsakymas

A · Jo daliniai uždaviniai nepersidengia, todėl nėra ko pakartotinai panaudoti
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią

Kodėl tai yra atsakymas

Godusis žingsnis remiasi neneigiamais svoriais, kad išimti atstumai būtų galutiniai; kai svoriai gali būti neigiami, naudojamas Bellmano–Fordo algoritmas.

Atsakymas

D · Viršūnė galutinai nustatoma ją išėmus, bet vėlesnė neigiama briauna dar galėtų duoti jai trumpesnį kelią
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės

Kodėl tai yra atsakymas

Pilnumas reiškia, kad nėra tarpų, todėl indekso i vaikai visada yra 2i + 1 ir 2i + 2.

Atsakymas

C · Tai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge

Kodėl tai yra atsakymas

Kairė–kairė atveju vienas dešinysis posūkis pakelia kairįjį vaiką aukštyn ir atkuria balansą; zigzago atvejams reikia dvigubo posūkio.

Atsakymas

A · Vienas dešinysis posūkis nesubalansuotame mazge
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 12

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

18 − 1 = 17

Pašalintinos briaunos

k = 29 − 17 = 12

Atsakymas

k = 12
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(G) = 7

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 15, C: 5
C (5): G: 7
G (7): B: 8, D: 22, E: 17
B (8): D: 14
D (14): F: 21
E (17)
F (21)

Trumpiausias kelias

A → C → G
d(G) = 7

Atsakymas

d(G) = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms