Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra dviejų n × n matricų daugybos standartiniu trigubu ciklu laiko sudėtingumas?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n² log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl bet kuriai palyginimais pagrįstai paieškai surikiuotame masyve blogiausiu atveju reikia Ω(log n) palyginimų?

  1. ASprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
  2. BKiekvienas palyginimas trunka logaritminį laiką
  3. CKiekvieną elementą reikia palyginti bent kartą
  4. DDvejetainė paieška yra vienintelis galimas algoritmas, ir jam reikia log₂ n palyginimų
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

  1. AIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
  2. BSeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
  3. CEsami raktai surikiuojami vietoje
  4. DĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
4.Duomenų struktūrosSunkus

Dinaminis masyvas užsipildęs padvigubėja. Kodėl daugelis įgyvendinimų jį sumažina tik tada, kai jis užpildytas ketvirtadaliu, o ne perpus?

  1. ANes perpus mažinant esant pusei talpos būtų prarasti elementai
  2. BKad masyvas liktų surikiuotas
  3. CNes atminties paskirstytuvas gali atlaisvinti atmintį tik bloko ketvirtadaliais
  4. DKad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 4 viršūnių, kurių laipsnis 5, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

4 × deg 5
L =
6.Grafų teorijaSunkus
152014161910412ABCDEF

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(n³)

Kodėl tai yra atsakymas

Yra n² elementų, ir kiekvienam reikia n daugybų, todėl gaunama n³ operacijų.

Atsakymas

B · O(n³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: A · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n

Kodėl tai yra atsakymas

Kiekvienas palyginimas likusių galimybių aibę sumažina daugiausia perpus, todėl norint atskirti n pozicijų reikia bent log₂ n palyginimų.

Atsakymas

A · Sprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi indeksas skaičiuojamas moduliu pagal lentelės dydį, visus raktus reikia iš naujo sumaišyti į naują, didesnę lentelę; dvigubinant tai lieka O(1) amortizuotai.

Atsakymas

A · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos

Kodėl tai yra atsakymas

Mažinant esant pusei talpos, tokioje sekoje kiekviena operacija galėtų sukelti dydžio keitimą; tarpas tarp 1/4 ir pilnos talpos išlaiko amortizuotą kainą O(1).

Atsakymas

D · Kad būtų išvengta pakartotinio dydžio keitimo, kai push ir pop kaitaliojasi prie ribos
5.Grafų teorija

Atsakymas: L = 14

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 20 = 2(L + 4) − 2
L = 14

Atsakymas

L = 14

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

6.Grafų teorija

Atsakymas: W = 57

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

EF (4): imti
DF (10): imti
BE (12): imti
BD (14): praleisti, uždaro ciklą
AC (15): imti
CE (16): imti

Bendras svoris

W = 4 + 10 + 12 + 15 + 16 = 57

Atsakymas

W = 57

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms