Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Ką apskaičiuoja Floydo–Warshallo algoritmas ir kaip greitai?

  1. ATrumpiausius kelius iš vienos šaltinio viršūnės į visas kitas per O(V + E)
  2. BMinimalų jungiamąjį medį per O(E log V)
  3. CTopologinę tvarką per O(V²)
  4. DTrumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kaip klasifikuojamas keliaujančio pirklio uždavinys?

  1. AJis priklauso P, nes jį išsprendžia Dijkstros algoritmas aplankydamas kiekvieną miestą vieną kartą
  2. BSprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
  3. CJis neišsprendžiamas
  4. DSprendimo versija priklauso P, bet optimizavimo versija yra NP-pilna
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kaip žiedinėje eilėje, saugomoje n talpos masyve, apskaičiuojama kita pozicija po indekso i?

  1. A(i + 1) mod n
  2. Bi + 1
  3. C(i − 1) mod n
  4. D2i + 1
4.Duomenų struktūrosSunkus

Kurias operacijas Fenwicko medis (binary indexed tree) n skaičių masyvui palaiko per O(log n)?

  1. AMasyvo rikiavimą ir dvejetainę paiešką
  2. BMedianos radimą per O(1)
  3. CElementų įterpimą bet kurioje pozicijoje
  4. DPrefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 11 viršūnių ir 11 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 11|E| = 11
k =
6.Grafų teorijaSunkus
8510108413141314ABCDEFG

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F
d(F) =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: D · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)

Kodėl tai yra atsakymas

Floydo–Warshallo algoritmas yra dinaminio programavimo algoritmas, kuris paeiliui leidžia kiekvieną viršūnę naudoti kaip tarpinį tašką, sunaudodamas O(V³) laiko.

Atsakymas

D · Trumpiausius kelius tarp visų viršūnių porų per O(V³)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki

Kodėl tai yra atsakymas

„Ar yra maršrutas, kurio ilgis ne didesnis kaip k?“ yra NP-pilnas; trumpiausio maršruto radimas yra NP-sunkus, nes jis bent tiek pat sunkus.

Atsakymas

B · Sprendimo versija yra NP-pilna, o optimizavimo versija – NP-sunki
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · (i + 1) mod n

Kodėl tai yra atsakymas

Modulio operacija indeksą n − 1 grąžina į 0, todėl masyvas naudojamas pakartotinai, nepastumiant elementų.

Atsakymas

A · (i + 1) mod n
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: D · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus

Kodėl tai yra atsakymas

Fenwicko medis saugo dalines sumas intervaluose, kuriuos nusako kiekvieno indekso žemesnieji bitai, todėl ir prefiksų sumos, ir taškiniai atnaujinimai užtrunka O(log n).

Atsakymas

D · Prefiksų sumų užklausas ir vieno elemento atnaujinimus
5.Grafų teorija

Atsakymas: k = 1

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

11 − 1 = 10

Pašalintinos briaunos

k = 11 − 10 = 1

Atsakymas

k = 1
6.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 26

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 8, C: 5
C (5): G: 19
B (8): D: 18
D (18): F: 26
G (19): E: 33
F (26): E: 30
E (30)

Trumpiausias kelias

A → B → D → F
d(F) = 26

Atsakymas

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms