Duomenų struktūros ir algoritmai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 6 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema
Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Reguliarusis grafas
|E| = n·k/2
Medis ir miškas
|E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris
ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe Kn
(n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai
(Mᴸ)ij

Metodas

  1. Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
  2. Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
  3. Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
  4. Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
  5. Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

2Uždaviniai

1.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n − 1) + O(1) sprendinys?

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kam lygus rekurentinės lygties T(n) = 2T(n/2) + n log n sprendinys?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Duomenų struktūrosVidutinis

Kas nutinka, kai maišos lentelė, jos užpildymo koeficientui viršijus slenkstį, atlieka pakartotinį maišymą (rehash)?

  1. AEsami raktai surikiuojami vietoje
  2. BĮ naują perpildos sąrašą lentelės gale perkeliami tik susidūrę raktai
  3. CIšskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
  4. DSeniausi raktai pašalinami vietai atlaisvinti
4.Duomenų struktūrosSunkus

Raktai 5, 3, 8, 1 šia tvarka įterpiami į tuščią masyvu grįstą dvejetainę min krūvą. Koks galutinis masyvas?

  1. A[1, 3, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K7? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K7
H =
6.Grafų teorijaSunkus
ABCDE

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties C? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2
N =

3Tirpalai

1.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · O(2ⁿ)

Kodėl tai yra atsakymas

Kvietimų skaičius kiekviename lygmenyje padvigubėja, o lygmenų yra n, todėl iš viso gaunama apie 2ⁿ, kaip Hanojaus bokštų uždavinyje.

Atsakymas

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmai ir sudėtingumas

Atsakymas: B · Θ(n log² n)

Kodėl tai yra atsakymas

k-asis lygmuo atlieka apie n log(n / 2ᵏ) darbo, o susumavus per log n lygmenų gaunama Θ(n log² n) – tai išplėstinis antrasis pagrindinės teoremos atvejis.

Atsakymas

B · Θ(n log² n)
3.Duomenų struktūros

Atsakymas: C · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo

Kodėl tai yra atsakymas

Kadangi indeksas skaičiuojamas moduliu pagal lentelės dydį, visus raktus reikia iš naujo sumaišyti į naują, didesnę lentelę; dvigubinant tai lieka O(1) amortizuotai.

Atsakymas

C · Išskiriama didesnė lentelė, ir kiekvienas raktas įterpiamas iš naujo
4.Duomenų struktūros

Atsakymas: A · [1, 3, 8, 5]

Kodėl tai yra atsakymas

Po 5, 3, 8 masyvas yra [3, 5, 8]; 1 patenka į indeksą 3, susikeičia su tėvu 5, o tada su 3, todėl gaunama [1, 3, 8, 5].

Atsakymas

A · [1, 3, 8, 5]
5.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360
6.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. Kn turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Bendri kaimynai

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Atsakymas

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms